Відношення теорем про незавершеність Геделя до тези Церкви Тюрінга

Це може бути наївним питанням, але ось ідеться. (Редагувати - це не отримує відгуків, але ніхто також не запропонував відповіді; можливо, питання складніше, незрозуміліше або неясне, ніж я думав?)

Теорема першої некомплектності Геделя може бути доведена як наслідок невирішеності проблеми зупинки (наприклад, Сіпсер Ч. 6; допис у блозі Скотта Ааронсона ).

З того, що я розумію (підтверджено коментарями), цей доказ не залежить від тези Церкви-Тьюрінга. Ми виводимо протиріччя, показуючи, що в повній і послідовної формальній системі машина Тьюрінга могла вирішити проблему зупинки. (Якби з іншого боку, ми щойно показали, що якась ефективна процедура може вирішити проблему зупинки, нам потрібно було б також припустити тезу Церкви Тьюрінга, щоб отримати протиріччя.)

Отже, можна сказати, що цей результат дає трохи інтуїтивної підтримки тезі Церкви Тюрінга, оскільки він показує, що обмеження машин Тьюрінга передбачає загальне обмеження. (Повідомлення в блозі Ааронсона, безумовно, підтримує цю думку.)

Моє запитання полягає в тому, чи можемо ми отримати щось більш конкретне, якщо піти в зворотному напрямку: Які формальні наслідки мають теореми Геделя для тези Церкви Тьюрінга? Наприклад, інтуїтивно представляється можливим, що теорема Першої некомплектності передбачає, що жодна ефективна процедура не може визначити, чи зупиняється довільна машина Тьюрінга; міркування можуть випливати з того, що існування такої процедури передбачає здатність побудувати повну теорію, що суперечить . Це правильно? Чи є результати за цими напрямками?$\omega$

(Я прошу цікавості - я сам не вивчаю логіку - тому прошу вибачення, якщо це добре відоме чи не є дослідницьким рівнем. У цьому випадку вважайте це посилальним запитом! Дякую за будь-які коментарі чи відповіді !)

Питання, яке звучить, пов'язане, але не: теорема Церкви та теореми некомплектності Геделя

EDIT: Я спробую зробити питання більш зрозумілим! По-перше - моя наївна інтуїція полягає в тому, що Недосконалість Геделя має на увазі принаймні деякі обмеження щодо того, що є чи не обчислюється. Ці обмеження були б беззастережними, тобто вони повинні стосуватися всіх моделей обчислень, а не лише машин Тюрінга.

Тож мені цікаво, чи це так (має бути якесь значення, правда?). Припускаючи, що мені це найбільше цікаво, як це впливає на тезу Церкви Тьюрінга - уявлення про те, що машина, яка ефективно обчислюється, може бути обчислена машиною Тюрінга. Наприклад, видається можливим, що існування ефективної процедури вирішення питання про те, чи зупиняється машина Тьюрінга, буде суперечити теоремі першої некомплектності. Цей результат демонструє, що жоден можливий метод обчислення не може бути «набагато» потужнішим, ніж машини Тюрінга; але чи правда цей результат? У коментарях у мене є пара подібних питань. Мені б дуже цікаво почути відповідь на одне з цих питань, вказівник на відповідь у літературі, пояснення, чому все моє міркування є необґрунтованим, чи будь-які інші коментарі!

Ось філософська відповідь, яка може вас розважити.

Теореми про незавершеність Геделя стосуються формальної системи арифметики Пеано. Як такі, вони нічого не говорять про моделі обчислень, принаймні не без деякої інтерпретації.

Арифметика піано легко показує наявність не обчислюваних функцій. Наприклад, будучи класичною теорією, достатньо виразною, щоб говорити про машини Тьюрінга, вона показує особливий екземпляр виключеного середини, який говорить про те, що кожна машина Тьюрінга зупиняється або працює вічно. Тим не менш, з роботи Геделя виникло важливе поняття обчислюваності, а саме - про (примітивну) рекурсивну функцію . Таким чином, до обчислюваності пов'язані не самі теореми, а скоріше метод доведення.

Суть теорем про незавершеність може бути виражена в абстрактній формі, використовуючи логіку доказовості, що є своєрідною модальною логікою. Це дає теоремам про незавершеність широкий діапазон застосованості далеко за межами арифметики та обчислення Пеано. Як тільки певні принципи фіксованої точки задовольняються, неповнота починається. Ці принципи з фіксованою точкою задовольняються традиційною теорією обчислюваності, яка, таким чином, стає жертвою незавершеності, під якою я маю на увазі існування невіддільних цілих множин. Оскільки доказові та спростовувані речення арифметики Пеано утворюють нероздільні множини, традиційні теореми про незавершеність Геделя можна розглядати як наслідки явищ незавершеності в обчислюваності. (Я філософсько розпливчастий, і ваша голова буде боліти, якщо ви спробуєте зрозуміти мене як математика.)

Я припускаю, що ми можемо взяти дві позиції щодо того, як все це стосується неформального поняття ефективності ("речі, які насправді можна обчислити"):

1. З усього, що ми знаємо, ми просто досить великий кінцевий автомат, здатний споглядати вигаданих супергероїв під назвою "машини Тюрінга", які вміють обчислювати без обмежених чисел (ах!). Якщо це так, Гьодель був просто дуже добрим оповідачем. Як його розповіді перетворюються на ефективність, то це питання деякого (обов'язково неточного) застосування уяви до реальності.

2. Оскільки явища незавершеності виникають природним чином у багатьох контекстах, і, безумовно, у всіх розумних уявленнях про обчислюваність, ми робимо висновок, що те саме повинно мати місце для ефективності. Наприклад, припустимо, що ми могли б відправити машини Тьюрінга в чорні діри для обчислення нескінченного часу машини Тьюрінга Джоела Хамкіна . Це дає нам величезну обчислювальну силу, в якій оракул, що зупиняється, - це дитяча іграшка. Але все-таки модель задовольняє основні умови, які дозволяють нам показати існування змінних множин. І тому ще раз: обчислення не всесильні, а незавершеність - це факт життя.

Я хотів би наголосити на коментарі Ніла. Основними інструментами як невизначуваності зупинки, так і теорем про незавершеність Годеля є:

1. кодування синтаксичних понять, таких як докази, обчислення тощо, числами / рядками та співвідношеннями / функціями над ними;
2. Теорема фіксованої точки Годеля.

Кодування синтаксичних об'єктів та понять сьогодні може здатися очевидним, що ми звикли до цифрових комп'ютерів, але це геніальна ідея, необхідна для універсальних комп'ютерів та програмного забезпечення. Все, що потрібно для доведення існування універсального тренажера, є у його статті.

Годель також показує, що ми можемо представляти ці синтаксичні поняття і загалом ТМ обчислювальні відносини / функції простими арифметичними формулами.

Коротше кажучи, доказ неповноти Годеля:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Нерозбірливість проблеми зупинки для ТМ використовує подібні інгредієнти:

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

Докази дуже схожі і використовують ті самі інгредієнти (хоча для тих, хто більше знайомий з ТМ, але не дуже логічним, нерозбірливість проблеми зупинки може виглядати простіше: конкретний екземпляр теореми з фіксованою точкою, що використовується в доказі невизначення, може виглядати простіше, ніж конкретний екземпляр нерухомої точки, що використовується в теоремі Годеля, хоча вони по суті однакові, але суттєвими ідеями є просто кодування синтаксичних об'єктів і понять, використовуючи про них числа / рядки та формули / функції, та застосовуючи теорему з фіксованою точкою).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Зауважимо, що теореми Годеля були опубліковані в 1931 році, тоді як невідмінність Тьюрінга опублікована в 1936 році. На момент публікації паперу Годеля ТМ не визначалися, і Годель використовував іншу еквівалентну модель. IIRC, Годель не був повністю задоволений його результатом, який вирішив початкову мету програми Гільберта, оскільки він не був переконаний, що модель обчислення, яку він використовував, дійсно захоплювала інтуїтивне поняття алгоритмічної обчислюваності, він був задоволений лише після філософського аргументу Тьюрінга про захоплення ТМ інтуїтивне поняття алгоритмічної обчислюваності. Я думаю, що ви можете прочитати більше про це у зібраних творах Годеля.