Результати складності для нижніх елементарних рекурсивних функцій?

Заінтригуючи цікавим запитанням Кріса Пресі про елементарно-рекурсивні функції , я більше досліджував і не зміг знайти відповідь на це питання в Інтернеті.

У Елементарні рекурсивні функції відповідають добре експоненційної ієрархії, . $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

Це здається простим з визначення , що рішення , проблему можна вирішити (термін?) По нижчим -елементарним функцій повинні міститися в EXP, і насправді в DTIME ; ці функції також обмежені вихідними рядками лінійними за своєю вхідною довжиною [1]. $(2^{O(n)})$

Але з іншого боку, я не бачу явних нижчих меж; на перший погляд здається, що LOWER-ELEMENTARY може суворо містити NP, або, можливо, не містити в P деяких проблем, або, швидше за все, якусь можливість я ще не уявляв. Було б надзвичайно класно, якби ЛІНЕ-СТЕНД = NP, але я вважаю, що це занадто багато, щоб просити.

Тож мої запитання:

Наскільки моє розуміння поки що правильне?
Що відомо про класи складності, що обмежують нижчі елементарні рекурсивні функції?
(Бонус) Чи є у нас якісь приємні характеристики класу складності під час подальших обмежень на рекурсивні функції? Я, зокрема, думав про обмеження на зведені підсумки, які, на мою думку, виконують у поліноміальний час та дають лінійний вихід; або постійно обмеженими підсумками, які, на мою думку, працюють у поліноміальний час і дають вихід довжиною не більше . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Ми можемо показати (я вважаю), що нижчі елементарні функції підпадають під ці обмеження структурною індукцією, припускаючи, що функції мають складність і виходи довжина біт на вході довжиною . При , дозволяючи , кожен має вихід довжини , так має - введення довжини (а отже, довжина виходу); складність обчислення всіх s дорівнює а дорівнює $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ , тому має складність і вихід довжини як заявлено. $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

Коли , s мають виходи довжини , тому значення суми виходів становить , тому їх сума має довжину . Складність підсумовування цих значень обмежена (кількість підсумовувань) разів (складність кожного додавання), що дає , а складність обчислення результатів обмежена (кількість обчислень) раз (складність кожного), даючи . Отже, має складність $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ і вихід довжини як заявлено. $O(n)$

— усул
джерело

У статті Вікіпедії, на яку ви посилаєтесь, йдеться про те, що функції нижчих елементарних областей мають поліноміальний ріст (але це не дає посилання.) Показуючи, що проблема P-завершеної може бути або не може бути вирішена елементарними функціями, був би хорошим кроком до подальшого зменшення її. Зрозуміло, не представляється неможливим імітувати машину Тюрінга для n кроків - можливо, обмежена сума, що відповідає кількості кроків іншої обмеженої суми, що відповідає кожному переходу стану?

— Кріс Пресі

@Chris - Моя здогадка полягала в тому, що "зростання полінома" означає, що кількість бітів у виводі не більше лінійного за кількістю бітів на вході. Я погоджуюся, що моделювання здається дуже правдоподібним і здається здійсненим у поліноміальний час (але для підтвердження цього може знадобитися деяка деталь!).

— usul

Вибачте, що перша частина може бути не зрозумілою, але це тому, що тоді на введенні значення вихід має значення максимум полінома в .

x

$x$

x

$x$

— usul

Щодо питання 3: функції, визначені у варіанті з підсумком, обмеженим містяться в однорідному класі складності . При постійному обмеженому підсумовуванні ви отримуєте підклас єдиної .

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Ян Йогансен

@Xoff Я вважаю, що це все в підсумовуванні: ми підсумовуємо від до , де (на вході біт) може мати розмір , тому наша сума буде в разів більша за кожну суму .

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Щодо (бонусного) запитання 3: функції, визначені у варіанті з підсумком, обмеженим є всіма уніфікованими класами складності . Це випливає з побудови в Чандрі, Стокмейєра та Вишкіна "Постійне зменшення глибини", SIAM J. Comput. 13 (1984) , що показує, що сума чисел $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$ Кожен біт може бути обчислений за допомогою постійних глибинних схем постійної величини з великими воротами.

При постійному обмеженому підсумовуванні ви отримуєте підклас уніформи $\mathsf{AC}^0$ . Постійне обмежене підсумовування може бути зведене до додавання та складу, а додавання може бути обчислено булевими ланцюгами постійної глибини за допомогою методу переноски-пошуку.

— Ян Йогансен
джерело

" Правильно нижчі елементарні функції є EXP ". Вони насправді знаходяться в DPSPACE ( n ); як це видно, наприклад, із структурної індукції.
Тут показано [1], що булева потужність SAT лежить на найнижчому рівні E ₀ Ієрархії Гжегорчика, тобто з обмеженою рекурсією замість обмеженого підсумовування.

[1] Крістіан Грозеа: NP прогнозує, що піддається обчисленню на найслабшому рівні ієрархії Гжегоржиків (sic!). Журнал Автомати, Мови та Комбінаторика 9 (2/3) : 269-279 (2004).

Основна ідея полягає в кодуванні заданої формули двійкової довжини n в ціле число N значення, орієнтовно експоненціальне в n ; а потім виразити існування задовольняючого завдання з точки зору кількісного визначення, обмеженого вказаним N (а не n ).

Цей метод, здається, переходить від E ₀ до нижнього елементарного
(і узагальнюється від SAT до QBF _k для довільного, але фіксованого k ).

Це не означає, що E ₀ містить NP (або навіть P для цього питання), тому що, як відомо, багаточастотні обчислення залишають E ₂ .

— Мартін Циглер
джерело