Чи достатньо, щоб лінійні обмеження програм були задоволені в очікуванні?

У статті Randomized Primal-Dual аналіз RANKING for Online Bipartite Matching , доказуючи, що алгоритм RANKING -конкурентоспроможні, автори показують, що подвійне можливо в очікуванні (див. лему 3 на стор. 5). Моє запитання: $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

Чи достатньо, щоб лінійні обмеження програм були задоволені в очікуванні?

Одне показати, що очікуване значення цільової функції - це щось. Але якщо обмеження техніко-економічного обгрунтування задовольняються в очікуванні, немає гарантії, що він буде виконаний в заданому циклі. Більше того, існує багато таких обмежень. То яка гарантія, що ВСЕ з них будуть задоволені даним пробігом?

— Аріндам Пал
джерело

Можливо, вам буде корисно прочитати короткий пост Клера Матьє про цей аналіз. Ключове речення: "Це доводить доцільність середнього дуалу". (Подвійне рішення, яке ви дійсно використовуєте, і це можливо), є середнім значенням дуалів в аналізі.)

— Ніл Янг

зауважте, що відповідь на ваше запитання - так, загалом, також у тому сенсі, що якщо лінійні обмеження задовольняються в очікуванні, то рішення, задане присвоєнні кожній змінній, її очікуване значення є можливим (і має вартість, рівну очікуваній вартості). чудеса лінійності очікування;)

— Сашо Ніколов

Дякуємо Усулу, Нілу та Сашо за роз’яснення цієї тонкої точки.

— Arindam Pal

Я думаю, що складність полягає в тому, що це формулювання трохи вводить в оману; як вони чіткіше заявляють у Вступі (1.2), "очікувані значення подвійних змінних є можливим подвійним рішенням".

$X$ $f(X)$ $\frac{e}{e-1}f(X)$ . (Подвійний неможливо в деяких із цих випадків, але це добре.)

$E[f(X)]$ $E[X]$ $\frac{e}{e-1}f(E[X])$ . The key trick is that $f(X)$ is linear in the dual variables $X$ : In fact, here the dual variables are $\alpha_i$ and $\beta_j$ , and each matching of vertex $i$ to $j$ adds a total of $\left(\frac{e-1}{e}\right)(\alpha_i + \beta_j)$ to the primal objective. So $E[f(X)] = f(E[X])$ і висновок випливає.

(В якості побічної ноти, я вважаю, що оскільки ця точка є одним з основних напрямків їхньої роботи (згідно реферату), було б краще, якби вони пояснили цю точку! Це зовсім не очевидно мене, і я хотів би дізнатися, коли це правда більш загально.)

— усул
джерело

дуже приємна відповідь.

— Суреш Венкат