Мінімальні елементи монотонного предиката над силою

Розглянемо монотонний предикат $P$ над силовим набором $2^{|n|}$(упорядковано включенням). Під "монотонним" я маю на увазі: $\forall x, y \in 2^{|n|}$такий, що $x \subset y$ , якщо $P(x)$ то $P(y)$ . Я шукаю алгоритм, щоб знайти всі мінімальні елементи $P$ , тобто $x \in 2^{|n|}$такий, що $P(x)$але $\forall y \subset x$ , $\neg P(y)$ . Оскільки ширина $2^{|n|}$є , може бути експоненціально багато мінімальних елементів, і тому час роботи такого алгоритму в цілому може бути експоненціальним. Однак чи може існувати алгоритм цієї задачі, який має поліном за розміром виходу?$n \choose n/2$

[Контекст: Було задано більш загальне питання, але не було спроб відповідей оцінити складність алгоритму за розміром виводу. Якщо я припускаю, що існує лише один мінімальний елемент, наприклад, я можу здійснити двійковий пошук за цією відповіддю і знайти його. Однак, якщо я хочу продовжувати знаходити більш мінімальні елементи, мені потрібно підтримувати поточну інформацію, яку я маю про таким чином, що дозволить простежити продовження пошуку, не витрачаючи часу на те, що вже відомо. Чи можливо це зробити і знайти всі мінімальні елементи в поліноміальний час за розміром виходу?]$P$

В ідеалі я хотів би зрозуміти, чи можна це зробити із загальними DAG, але я вже не знаю, як відповісти на питання для .$2^{|n|}$

Ваша проблема в навчальній літературі відома як "вивчення монотонних функцій за допомогою запитів про членство". Клас монотонних функцій, за якими можна ідентифікувати всі мінтерми, відомий як "поліноміально навчальний за допомогою запитів про членство".

Здається, що існування алгоритму поліноміального часу все ще відкрите. Шмулевич та ін. довести, що «Майже всі монотонні булеві функції поліноміально вивчаються за допомогою запитів про членство». Якщо ми також вимагаємо, щоб й мінтерм генерувався в поліномії часу в і , то проблема еквівалентна монотонній дуалізації, як показали Біох і Ібаракі . Ось опитування щодо монотонної дуалізації.$t$$n$$t$