Лема регулярності для розріджених графіків

Лемма регулярності Семереді говорить, що кожен щільний графік можна наблизити до об'єднання $O(1)$ безлічі двопартійних розширювальних графіків. Точніше, є розподіл більшості вершин на множини таким чином, що більшість пар множин утворюють двосторонні розширювачі (кількість наборів у розділі та параметр розширення залежать від параметра наближення): $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Існують версії цієї леми для "добре себе поводити" розрізнених графіків, див., Наприклад:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Що мене дивує щодо цих формулювань, це те, що вони гарантують лише те, що більшість пар наборів у розділі утворюють двосторонні розширювачі, і ці двопартійні розширювачі можуть бути порожніми. Таким чином, у загальних розріджених графах цілком можливо, що всі ребра між різними частинами у розділі вершин не належать до розширювача.

Цікаво, чи існують рецептури, які дають, що більшість країв між частинами є розширювачем, чи немає надії на таке формулювання.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Дана Мошковіц
джерело

але чи не здається інтуїтивно зрозумілим, що thm, призначений для щільних графіків, розбивається якимось чином на рідкі? зауважте, що посилання на wikipedia посилання на насправді нічого не говорить про графіки розширення, що дозволяє припустити, що це насправді може бути пізнішою інтерпретацією / формулюванням ...

— vzn

(1) Звичайним терміном для хороших поведінки пар множин є "регулярні пари" (у Вікіпедії "псевдовипадкова" пара). Я замінив її "двосторонніми розширювачами", тому що вважаю цю термінологію для мене більш природною. У будь-якому випадку, намір полягає в тому, що якщо ви вибираєте досить великі підмножини з обох сторін пари, кількість ребер між підмножинами пропорційна кількості ребер у парі. (2) Звичайно, те, що стосується щільних графіків, може перестати бути правдивим для розріджених графіків. Моє запитання полягає саме в тому, наскільки властивості з щільного випадку продовжують утримуватися в розрідженому випадку.

— Дана Мошковіц

Нижче наводиться відповідь, яка є довгостроковою, але tl; dr в загальному випадку сподівання на таке формулювання не існує, але для багатьох конкретних класів розріджених графіків, які мають лематичні закономірності, існує таке формулювання.

На задньому плані є дві популярні версії SRL. Вони є: для будь-якого фіксованого $\varepsilon > 0$ і будь- якого графа $n$ вузла $G = (V, E)$ можна розділити $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ на $p = O_{\varepsilon}(1)$ частини так, щоб. ..

(Комбінаторне фразування) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ і розміри будь-яких $V_1, \dots, V_p$ відрізняються щонайбільше на $1$ ( $V_0$ називається "винятковою множиною"), і (2) всіх, крім $\varepsilon p^2$ пар решти частин $(V_i, V_j)$ задовольняють
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε за всіх S \subseteq V_{i}, Т \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ (тут $d(\cdot, \cdot)$ дає щільність між частинами, тобто частка ребер, які є).

(Аналітичне фразування) Нехай
$d i с c (V_{i}, V_{j}) : = \underset{S \subseteq V_{i}, Т \subseteq V_{j}}{макс} | V_{i} | | V_{j} | | г (V_{i}, V_{j}) - г (S, Т) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ маємо $\sum_{i, j = 0}^{p} г i с c (V_{i}, V_{j}) < ε н^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

"Комбінаторне фразування" (я тільки що склав ці назви, вони не є стандартними) є оригінальним і, мабуть, більш відомим, тоді як "аналітичне фразування" є більш сучасним і пов'язане з обмеженнями графіків тощо (я думаю, це було популяризовано тут). На мій погляд, аналітична - це правильна формалізація "графіка, апроксимованого об'єднанням двосторонніх розширювачів", оскільки вона дає контроль над загальною "похибкою" такого наближення, і не існує виняткового набору, в якому можна приховати масу. Але на даний момент це просто косметично, адже це легка, але важлива лема, що ці дві фрази є рівнозначними. Щоб дістатися від комбінаторного до аналітичного, просто об'єднання прив’язало внесок до невідповідності нерегулярних деталей та виняткового набору. Щоб дістатися від аналітичного до комбінаторного, просто перемістіть будь-яку частину, яка сприяє занадто великій невідповідності винятковому набору, і застосуйте Нерівність Маркова для контролю над його масою.

$\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ Скоріше, аналітичне фразування сильніше: воно все ж має на увазі комбінаторне саме так, як раніше, але Combinatorial взагалі не передбачає аналітичного, оскільки (як передбачається в ОП) можна потенційно приховати велику щільність у винятковому наборі або між нерегулярними пари деталей. Дійсно, це розділення є формальним: графіки нижньої межі для щільного SRL (скажімо, цього ) означають, що Аналітичне фразування взагалі не поширюється на розрізнені графіки, однак документ Скотта, пов'язаний в ОП, показує, що комбінаторне фразування насправді поширюється на всі розріджені графіки без жодних умов.

Дослідження, пов'язане з ОП, переважно говорить про НЛ для "верхньо-правильних" розріджених графіків, що, приблизно, означає, що на графіку немає надрізів, щільніших за середній, ніж постійний коефіцієнт. У цих конкретних графах комбінаторні та аналітичні фрази є рівнозначними, оскільки не може бути надто великої маси, прихованої у виняткових частинах, тому їх внесок у розбіжність може бути обмеженим об'єднанням, як у щільному випадку. Таким чином, ці графіки мають інтерпретацію "наближеного до об'єднання двосторонніх розширювачів".

$L_p$

— GMB
джерело

Крім того, вибачте за некромантію нитки - це просто трапилося, щоб відповідати моєму поточному освітленому огляду, і я думав, що поділюсь тим, що знайшов.

— GMB