Чи завершений MALL + необмежений рекурсивний тип Тьюрінга?

Якщо ви подивитеся на рекурсивні комбінатори в нетиповому рахунку лямбда-числення, як-от Y-комбінатор або омега-комбінатор:

\begin{array}{lcl} ω & = & (λ x . x x) (λ x . x x) \\ Y & = & λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array}$ Зрозуміло, що всі ці комбінатори в кінцевому підсумку дублюють змінну десь у своєму визначенні.

Крім того, всі ці комбінатори можна ввести в просто набраному лямбдальному обчисленні, якщо розширити його рекурсивними типами $\mu\alpha.\,A(\alpha)$ , де $\alpha$ дозволено відбуватися негативно в рекурсивном типу.

Однак, що станеться, якщо до фрагмента лінійної логіки (тобто MALL) додати повний рекурсивний тип (негативне виникнення) рекурсивних типів?

$!A$

! A ≜ μ α . I & A & (α \otimes α)

$!A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

Чи трапляється так, що MALL плюс необмежений рекурсивний тип все ще нормалізується‽

lo.logic pl.programming-languages linear-logic

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Я думав про це днями і провів кілька годин, граючись з деякими ідеями, але не зміг ні знайти способу висловити рекурсивну цінність, ні переконати себе, що це неможливо. Моя інтуїція полягає в тому, що це не так! Хоча я не розглядав інший напрямок - якщо прийняти правило введення! і рекурсивні типи, це дозволяє вам визначити комбінатор з фіксованою точкою?

— CA McCann

Я завжди думав, що -терм, у якому кожна змінна виникає максимум одночасно, може бути введений у просто набраний фрагмент. Отже, це показало б, що ви не можете визначити комбінатор фіксованих точок, у якому змінні використовуються лінійно.

λ

$\lambda$

— Андрій Бауер

Я думаю , що ви тільки що відповіли на питання для МП, але добавки роблять дозволяють змінним дублюватися (лінійність , то має на увазі одиничні входження в послідовності скорочення, грубо кажучи).

A & B

$A & B$

— Neel Krishnaswami

Якщо коммутації добавок у MALL опущені, легко показати, що розмір доказу зменшується з кожним кроком усунення. Якщо дозволені комутаційні добавки, доказ не такий простий, але він був наданий в оригінальному папері "Лінійна логіка". Це називається теоремою малої нормалізації (слідство 4.22, p71), яка говорить про те, що до тих пір, поки правило про скорочення скорочення та прискорення (що є випадком у MALL) має місце нормалізація. Аргумент не покладається на самі формули, вони можуть бути нескінченними (наприклад, рекурсивно визначеними).

Це означає, що неможливо кодувати просування для типу в MALL, оскільки це дозволить встановити точкові комбінатори. Для цього знадобиться деяка додаткова конструкція рекурсії. $\mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

$\mu$ $!A$

— Стефан Гіменес
джерело

Також зауважте, що запропонований тип коротко згадується на сторінці 101 (остання сторінка) статті.

— Стефан Гіменез