Комбінатори для примітивних рекурсивних функцій

Загальновідомо, що комбінатори S і K є Turing Complete. Чи є комбінатори, яких достатньо для отримання (лише) примітивних рекурсивних функцій?

lo.logic computability

— НіцшеанськийАІ
джерело

Це ви просите? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Андрій Бауер

Так, але вам доведеться враховувати набрані комбінатори. Тобто вам потрібно надати і такі схеми типів: де і - мета-змінні, які можна примірник будь-якого конкретного типу при кожному використанні. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Потім потрібно додати тип натуральних чисел до мови типів і додати наступні комбінатори: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Правилами рівності для доповнень є:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

Набагато простіше читати програми, які ви пишете, якщо ви просто пишете програми в просто набраному лямбдальному обчисленні, доповненому цифрами та ітерацією. Описана мною система - це обмеження Т на Геделя , мова арифметики вищого типу. У T Goedel введення тексту для ітерації менш обмежене: У T , ви можете інстанціювати будь-якого типу, а не лише типу натуральних чисел. Це призведе до минулої примітивної рекурсії і дозволяє визначити такі речі, як функція Акермана.

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

EDIT: Xoff запитав, як кодувати функцію попередника. Це випливає за допомогою стандартного трюку. Для пояснення я використовую лямбда-позначення для цього (яке можна усунути дужкою-абстракцією), оскільки це набагато читабельніше. Спочатку припустимо, що у нас є пари і більш загальний тип для . Тоді ми можемо визначити: $\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

Якщо у вас просто є ітератор типу nat, ви повинні використовувати ізоморфізм, що $\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Отже, це менше, ніж Тьюрінг - повне обмеження набраних комбінаторів? Чи можуть змінні типу (рекурсивно) позначати функції над змінними типів (наприклад, A = D -> E для деяких типів D і E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Ніл, дякую. Чи було б я правильно, думаючи, що можна зобразити z, succ і iter у відношенні S і K через кодування Церкви цифрами?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: функція попередника має добре відоме з точки зору визначення лінійного часу iter. Це може бути предметом запитання на cs.stackexchange.com ...

— cody