Теорема Церкви та теореми про незавершеність Геделя

Нещодавно я читав деякі ідеї та історію першокласної роботи, проведеної різними логіками та математиками щодо обчислюваності. Хоча окремі поняття для мене досить зрозумілі, я намагаюся зрозуміти там взаємозв'язки та абстрактний рівень, на якому вони всі пов'язані.

Ми знаємо, що теорема Церкви (а точніше, незалежні докази Ентшейдунгспроблеми Гільберта Алонцо Церкви та Алана Тюрінга) довела, що в цілому ми не можемо розрахувати, чи є дане математичне твердження у формальній системі правдивим чи помилковим. Як я розумію, теза Церкви Тьюрінга дає досить чіткий опис еквівалентності (ізоморфізму) між обчисленням лямбда-церкви Церкви та машинами Тюрінга, отже, ми ефективно маємо єдину модель обчислення. (Примітка. Наскільки я знаю, доказ Тьюрінга використовує той факт, що проблема зупинки не можна визначити. Виправте мене, якщо я помиляюся.)

Тепер перша теорема про незавершеність Геделя зазначає, що не всі твердження в послідовній формальній системі з достатньою арифметичною силою можуть бути доведені або спростовані (вирішені) у цій системі. Багато в чому, як мені здається, це говорить саме те саме, що й теореми Церкви, враховуючи, що обчислення лямбда та машини токарні є ефективними формальними системами!

Це, однак, моя цілісна інтерпретація, і я сподівався, що хтось може пролити трохи деталей. Чи є ці дві теореми ефективно еквівалентними? Чи варто дотримуватись тонкощів? Якщо ці теорії по суті дивляться на одну і ту ж універсальну істину по-різному, чому до них зверталися з таких різних точок зору? (Між доказом Годеля та Церквою було 6 чи менше років). Нарешті, чи можемо ми суттєво сказати, що поняття доказовості у формальній системі (доказ обчислення) тотожне поняттю обчислюваності в теорії рекурсії (машини Тьюрінга / лямбда-числення)?

По-перше, я пропоную вам прочитати «Метаматематику» Кліна як хорошу книгу на ці теми. Перші дві глави I тома «Теорії класичної рекурсії» Одіфредді також можуть бути корисними для розуміння зв'язку між цими поняттями.

Ми знаємо, що теорема Церкви (а точніше, незалежні докази Ентшейдунгспроблеми Гільберта Алонцо Церкви та Алана Тюрінга) довела, що в цілому ми не можемо розрахувати, чи є дане математичне твердження у формальній системі правдивим чи помилковим.

Я думаю, ви посилаєтесь на теорему Церкви про те, що набір теорем логіки першого порядку не вирішується. Важливо зазначити, що мова - це перший порядок.

Як я розумію, теза Церкви Тьюрінга дає досить чіткий опис еквівалентності (ізоморфізму) між обчисленням лямбда-церкви Церкви та машинами Тюрінга, отже, ми ефективно маємо єдину модель обчислення.

Ні. Еквівалентність, якщо обчислюваність лямбда і Тюрінга - теорема Кліна. Це не теза. Це розглядається як доказ, що підтверджує тезу Церкви.

Примітка. Наскільки я знаю, доказ Тьюрінга використовує той факт, що проблема зупинки не можна визначити. Виправте мене, якщо я помиляюся.

Тепер перша теорема про незавершеність Геделя зазначає, що не всі твердження в послідовній формальній системі можуть бути доведені в цій системі. Багато в чому, як мені здається, це говорить саме те саме, що й теореми Церкви, враховуючи, що обчислення лямбда та машини токарні є ефективними формальними системами!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Це не те саме. Це нічого не говорить про те, що набір теорем не можна визначити.

Це, однак, моя цілісна інтерпретація, і я сподівався, що хтось може пролити трохи деталей. Чи є ці дві теореми ефективно еквівалентними? Чи варто дотримуватись тонкощів? Якщо ці теорії по суті дивляться на одну і ту ж універсальну істину по-різному, чому до них зверталися з таких різних точок зору? (Між доказом Годеля та Церквою було 6 чи менше років).

Протягом багатьох років було багато зловживань теоремами Годеля (і подібними теоремами). Слід бути дуже обережними при здійсненні їх тлумачень. Наскільки я бачив, зловживання зазвичай є результатом забуття згадати якусь умову в теоремі або поєднання теорем з якимись іншими переконаннями. Уважний погляд показує, що теореми тез, хоча і пов'язані між собою, не є рівнозначними.

Нарешті, чи можемо ми суттєво сказати, що поняття доказовості у формальній системі (доказ обчислення) тотожне поняттю обчислюваності в теорії рекурсії (машини Тьюрінга / лямбда-числення)?

Я не розумію, що ви маєте на увазі під "ідентичним". Безумовно, існує багато взаємозв'язків між обчислюваністю та доцільністю. Я, можливо, зможу зробити більш корисний коментар, якщо ви поясните, що ви маєте на увазі під цим, що вони однакові.

оновлення

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Про співвідношення доказовості у формальній системі та обчислюваності. Одне полягає в наступному: Якщо система ефективна, то набір похідного виразу в ній повторно, а система є окремим випадком граматики. Граматики - це ще один спосіб визначення поняття обчислювальної, що еквівалентно обчислювальній машині Тьюрінга.

чи можемо ми суттєво сказати, що поняття доказовості у формальній системі (доказ обчислення) тотожне поняттю обчислюваності в теорії рекурсії (машини Тьюрінга / обчислення лямбда)?

Вони дуже схожі, але не тотожні, тому що деякі етапи доказування можуть являти собою не обчислювані операції.

$ZFC$$\wp(N)$

Аналогічно, теорема повноти Геделя говорить нам, що будь-яка дійсна формула в логіці першого порядку має доказ, але теорема Трахтенброта говорить нам про те, що над кінцевими моделями обгрунтованість формул першого порядку не визначається.

Тому кінцеві докази не обов'язково відповідають обчислювальним операціям.

Хоча це питання не зовсім про те, про що ви запитуєте, це в тому ж дусі, і, сподіваємось, ви (та інші читачі вашого запитання) знайдете це цікавим. Вам неодмінно слід ознайомитися з листуванням Кері-Говарда , де йдеться про те, що категорія програм у певному сенсі ізоморфна категорії конструктивних доказів. (Це обговорення доказів та обчислюваності на іншому рівні, ніж інші відповіді.)

Я спробую відповісти на ваше запитання з точки зору, який ви приймаєте, коротше; Я також намагаюся по-різному співвідносити дві теореми.

Перша теорема про незавершеність Ґеделя говорить, що в послідовній формальній системі з достатньою арифметичною силою існує твердження Р, що не існує жодного доказу ні того, ні його заперечення. Це не означає, що не існує алгоритму прийняття рішень для набору теорем, який також би сказав, що ні P, ні P не є теоремами. Результат теореми Черч-Тьюрінга говорить про те, що такого алгоритму не існує. Це також є основою відповіді Каве, я сподіваюся, що це пояснив чіткіше.

Зараз я спробую довести, що теорема Церкви Тьюрінга передбачає теорему Геделя, будь ласка, поясніть мені, де і якщо я помиляюся. Набір теорем Thm частково вирішується, і припустимо, R - це програма, яка розпізнає її (тобто зупиняється на "так", якщо вхід знаходиться в Thm, продовжує працювати інакше). Давайте скористаємося цим для побудови нового алгоритму: Давши твердження Q, щоб побачити, чи він є доказовим, запустіть R паралельно на Q, а не на Q, перемежуючи їх виконання і зупиняючись, коли перший з них зупиняється, і виробляючи "Ні", якщо "не Q" було доведено, а "так" в іншому випадку; це дає обчислюваний алгоритм. Якщо суперечити, що всі твердження можна довести чи спростувати, цей алгоритм вирішив би проблему Entscheidungsproblem, але це абсурдно! Тому повинно бути твердження, яке може "