Формула 3-CNF, яка вимагає ширини роздільної здатності

Нагадаємо , що ширина резолюції спростування з формули CNF являє максимальне число літералів в будь-якому пункті , що відбуваються в . Для кожного існують незадовільні формули у 3-х CNF-му, для кожного спростування роздільної здатності потрібна ширина принаймні .F R w F F $R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

Мені потрібен конкретний приклад незадовільної формули в 3-CNF (якомога менше і просте), що не має спростування роздільної здатності шириною 4.

Наступний приклад виходить з статті, яка дає комбінаторну характеристику ширини роздільної здатності Атсерія та Далама ( Журнал , ECCC , копія автора ).

У теоремі 2 статті зазначено, що, враховуючи формулу CNF , спростування ширини дозволу шириною не більше для еквівалентні виграшним стратегіям Спойлера в екзистенціальній грі . Нагадаємо , що екзистенціальний галька гра грається між двома конкуруючими гравцями, які називаються Спойлер і Дубликатор і позиції гри часткові завдання розміру домену в більшості до змінних . У грі -bbble, починаючи з порожнього завдання, Спойлер хоче сфальсифікувати пункт з , пам'ятаючи щонайбільшеk F ( k + 1 ) k + 1 F ( k + 1 ) F k + $F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$$k+1$ булеві значення за раз, і Duplicator хоче завадити Спойлеру робити це.

Приклад ґрунтується на (запереченні) принципу голубових отворів.

Для кожного і , нехай буде змінною пропозицією, що означає, що голуб сидить у отворі . Для кожного і , нехай буде новою змінною пропозиції. Наступна формула -CNF виражає, що голуб сидить у якомусь отворі: Нарешті, формула -CNF$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ $3$${EPHP}_n^{n+1}$вираження заперечення принципу голубої дуги - сполучення всіх та всіх пунктів для і .${EP}_i$ i,j∈{1,…,n+1},i≠jk∈{1,…,n$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$$k \in \{1, \dotsc, n \}$

Лема 6 статті дає досить короткий та інтуїтивно зрозумілий доказ того, що Спойлер не може виграти гру probble на , отже не має дозволу ширини максимум .E P H P n + 1 n E P H P n + 1 n n - $n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$$n-1$

У статті є ще один приклад леми 9, заснований на принципі щільного лінійного порядку.

Зважаючи на те, що обчислення мінімальної ширини для відхилень роздільної здатності завершено EXPTIME, і, крім того, потрібен час щоб підтвердити, що мінімальна ширина становить принаймні (див. Статтю Берхолца у FOCS або arXiv ), можливо, важко придумати приклади, які, очевидно, потребують широких спростувань дозволу?k + $\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$