Нижня межа кількості викликів Oracle для вирішення екземплярів проблеми зупинки

Я зіткнувся з наступним питанням, яке є легкою вправою (спойлер нижче).

Нам надається екземплярів проблеми зупинки (тобто TM ), і нам потрібно вирішити, який саме з них зупиняється на . Тобто нам потрібно вивести . Нам дається оракул для проблеми зупинки, але ми повинні використовувати його мінімально кілька разів.$n$$M_1,...,M_n$$\epsilon$$\{i: M_i\text{ halts on }\epsilon\}$

Не важко показати, що це можна зробити з викликами.$\log (n+1)$

Моє запитання: чи можна довести нижню межу? Чи є підстави підозрювати, що такий зв’язок буде дуже важко знайти?

Відповідь на саме запитання (спойлер, курсор миші):

Розглянемо випадок із ТМ. Ми можемо побудувати TM який паралельно працює і зупиняється, якщо принаймні два з них зупиняються (інакше він застрягне). Так само ми можемо побудувати TM який зупиняється, якщо принаймні одна з них зупиняється. Тоді ми можемо зателефонувати в оракул на . Якщо вона зупиниться, тоді ми можемо запустити машини паралельно і чекати, коли одна зупиниться. Тоді ми можемо викликати оракул на останньому. Якщо оракул каже «ні», тоді ми запускаємо оракул на . Якщо вона зупиняється, то ми запускаємо машини до тих пір, поки одна не зупиняється, і вона є єдиною, яка зупиняється. Якщо не зупиняється, жодна з них не зупиняється. Поширити це до машин досить просто.$3$$H_2$$M_1,M_2,M_3$$H_1$$H_2$$H_1$$H_1$$n$

Перше зауваження з цього питання полягає в тому, що здається неможливим вирішити, використовуючи інформаційно-теоретичні засоби, оскільки ми вирішально покладаємося на нашу здатність отримувати інформацію, керуючи машинами без оракул.

Результат можна знайти в

• Beigel, R., Gasarch, WI, Gill, J. and Owings, J. Terse, супертерси та багатослівні множини . Інформувати. та обчислювальної техніки. 103 (1993), вип. 1, 68–85.

Насправді їх доказ показує, що вашу проблему неможливо вирішити за допомогою менших, ніж запитів до будь-якого набору , не кажучи вже про саму проблему зупинки. Для деяких позначень вашу проблему іноді позначають або (залежно від вашої улюбленої нотації проблеми зупинки).$\log_2 n$$X$$C_n^K$$C_n^{HALT}$

Про це та багато пов'язаних з цим результатів див. Також:

• Це опитування Гашарха

• Книга Обмежена запитами в теорії рекурсії Гашарха та Мартіна.

EDIT: Аргумент, на який я відповів, не був помилковим, але був трохи оманливим, оскільки він лише показав, що верхня межа повинна бути щільною для певного (що насправді є тривіальним, оскільки воно повинно бути жорстким, коли а зв'язана дорівнює 1).$n$$n=2$

Ось більш точний аргумент. Звідси видно, що якщо верхня межа є вільною для будь-якого конкретного , то для всіх кількість необхідних викликів Oracle становить .$\log_2 n$$n$ $n$$O(1)$

(Безумовно, це не , тому верхня межа ніколи не розпущена! Але я насправді не доводжу, що тут, і з огляду на іншу відповідь на проблему, це, здається, не варто шукати.)$O(1)$

Розглянемо проблему обчислення максимального результату :

Враховуючи -tuple машин Тьюрінга, обчисліть максимальний вихід (із машин Тьюрінга, які зупиняються, якщо працювати на ). Якщо жодна з них не зупиниться, поверніть 0.$n$$(M_1,\ldots,M_n)$$\epsilon$

Як функція , найгірше число викликів Oracle, необхідне для обчислення цієї функції, те саме, що число, необхідне для вирішення, яка з машин зупиниться. (Якщо я знаю, які машини зупиняються, я можу легко обчислити максимальний вихід. І навпаки, якщо я хочу знати, які машини зупиняються, після побудови в постановці проблеми я можу побудувати машини де запускає всі заданих машин, то зупиняє та виводить якщо з них коли-небудь зупиняється. Максимальний вихід підкаже мені число, яке зупиняється. З цього я можу обчислити що саме зупинити.)$n$$n$$\{M'_i\}$ $(i=1,2,\ldots,n)$$M'_i$$n$$i$$i$

Тепер нехай - найменше ціле число (якщо воно є) таким, що має місце наступне:$n_0$$n$

Використовуючи виклики , можна обчислити максимальний вихід заданих машин. (Тобто верхня межа не туга для .)$C(n) = \max\{k \in \mathbb{Z} : 2^k < n\}$$n$$n$

Чітко , тому що . Насправді, також, тому що , але не можна визначити максимальний вихід заданих машин (без викликів Oracle). Тепер розглянемо більші :$n_0>1$$C(1) = -1$$n_0>2$$C(2) = 0$$2$$n$

Заява: Якщо є кінцевим, то для будь-якого можна обчислити максимальний вихід заданих машин при викликах оракула . $n_0$$n$$n$$C(n_0)$(Зверніть увагу, що якщо кінцевий, то .)$n_0$$C(n_0) = O(1)$

Доказ. . Доводимо це індукцією на . Базові випадки , які тримають по визначенню і .$n$$n\le n_0$$n_0$$C$

Нехай - ТМ, який, враховуючи будь-які машини Тьюрінга, обчислює максимальний вихід, використовуючи лише виклики до оракула.$Q_0$$n_0$$C(n_0)$

Виправте будь-який . З урахуванням будь-яких машин , обчислюйте максимальний вихід таким чином.$n>n_0$$n$$M_1,\ldots, M_n$

Зосередьтеся на перших машинах . Розглянемо виконання на цих машинах. Зауважте, що робить дзвінки до оракула, і є лише можливих відповідей оракула на ці дзвінки. Зауважимо, що за визначенням . Нехай позначає му можливу відповідь. Для кожного машину яка імітує на цих машинах так:$M_1,\ldots,M_{n_0}$$Q_0$$n_0$$Q_0$$C(n_0)$$n' = 2^{C(n_0)}$$n' = 2^{C(n_0)} < n_0$$o_i$$i$$i=1,\ldots,n'$$M'_i$$Q_0$

TM (на вході ):$M'_i$$\epsilon$

1. Імітувати на машинах , але замість того , щоб викликати оракул, припустимо оракула реагує згідно .$Q_0$$n_0$$(M_1,\ldots,M_{n_0})$$o_i$
2. Таке моделювання може не припинитися (наприклад, якщо - це не те, що оракул насправді поверне).$o_i$
3. Якщо моделювання зупиниться, нехай буде максимальним результатом, про говорить .$h_i$$Q_0$
4. Обріжте всі машини . Якщо хтось із них коли-небудь видає , зупиніть та виведіть .$n_0$$(M_1,\ldots,M_{n_0})$$h_i$$h_i$

Тепер у заданій послідовності машин замініть перші машини цими машинами . Повертайте обчислене значення, повторюючи цю послідовність машин. (Зверніть увагу, що оракул не викликається перед повторним повторенням, так що оракул викликається лише після досягнення базового випадку.)$n$$n_0$$M_1,\ldots,M_{n_0}$$n'< n_0$$M'_1,\ldots,M'_{n'}$$n-(n_0-n') < n$

Ось чому це обчислення правильне. Для такого, що є `` правильною '' відповіддю оракула на запити, зупинить і дасть правильний максимальний вихід оригінальних машин . Таким чином, максимальний вихід машин є щонайменше максимальним виходом машин . З іншого боку, на кроці 4 жоден не може дати вихід, який перевищує максимальний вихід . Таким чином, максимальний вихід машин$i$$o_i$$Q_0$$M'_i$$n_0$$n'$$(M'_1,\ldots,M'_{n'})$$n_0$$(M_1,\ldots,M_{n_0})$$M'_i$$(M_1,\ldots,M_{n_0})$$n'$$(M'_1,\ldots,M'_{n'})$ дорівнює максимальній потужності машин, які вони замінюють. QED$n_0$