Як геометричний підхід Мулмулі-Сохоні до створення нижньої межі уникає отримання природних доказів (у розумінні Разборов-Рудич)?

Точне формулювання заголовка пояснюється Анандом Кулкарні (який запропонував створити цей сайт). Це питання було задано як приклад питання, але мені шалено цікаво. Я дуже мало знаю про алгебраїчну геометрію, і насправді також маю лише короткий, студентський розуміння перешкод, що виникають у питанні P / poly проти NP (нерелятивізуючий, не алгебразуючий, швидше за все, не буде природним доказом) .

Що робить алгебраїчну геометрію здається, що вона може обійти такі перешкоди? Це просто польова експертна інтуїція чи у нас є справді вагомі підстави вважати, що підхід є принципово потужнішим, ніж попередні підходи? Яких слабших результатів вдалося досягти цим підходом?

[Я відповім на запитання, як зазначено в заголовку, залишаючи літанію інших питань щодо GCT для інших потоків.] Доведення догадок, що виникають у GCT, здається, що воно вирішально використає той факт, що розглядаються функції (визначальні та постійні, та інші споріднені многочлени для P / poly та NP) характеризуються їх симетрією. Ця необхідність - це не формальний результат, а інтуїція, висловлена ​​кількома експертами. (В основному, за відсутності характеристики симетріями, розуміти алгебраїчну геометрію та теорію представлення, що виникає, набагато важче.)

Це повинно обійти Розборова-Рудича, оскільки дуже мало функцій характеризується їх симетрією (минаючи умову величини у визначенні природних доказів). Знову ж таки, я не бачив доказів цього, але це почуття, яке я почув, висловлене кількома експертами.

Тепер над складними числами мені незрозуміло, що є аналог Разборова-Рудича. Хоча більшість GCT в даний час зосереджена на комплексних числах, є аналоги в кінцевій характеристиці (обіцяно в наступній роботі GCT VIII). У кінцевій характеристиці можна було б насправді довести твердження форми "Дуже мало функцій характеризується їх симетрією".

[У відповідь на коментар Росса Снайдера, ось пояснення характеристики симетріями.]

По-перше, пояснення за прикладом. Для прикладу визначте допоміжну функцію . Якщо - матриця перестановки, то а якщо - діагональ, то (добуток діагональних записів). Тепер припустимо , що є однорідним ступеня многочленом змінних (що ми думаємо , як заходи в якості матриці ). Якщо має такі симетрії:A q ( A ) = 1 A q ( A ) = d e t ( A ) p ( X ) n n 2 n × n X $q$$A$$q(A)=1$$A$$q(A)=det(A)$$p(X)$$n$$n^2$$n \times n$$X$$p$

• $p(X) = p(X^t)$ (транспонировать)
• ( A , B ) A B q ( A ) q ( B ) = $p(AXB) = p(X)$ для всіх пар матриць таким чином, що і - це матриці перестановки або діагональні матриці, а$(A,B)$$A$$B$$q(A)q(B) = 1$

то є постійним кратним для всіх матриць . Отже, ми кажемо, що постійне характеризується його симетрією.p e r m ( X ) $p(X)$$perm(X)$$X$

Більш загально, якщо ми маємо (однорідний) многочлен в змінних, то (група всіх неперевернутих матриць) діє на за допомогою для (де ми беремо змінні як основа для -вимірного векторного простору, на який природно діє ). Стабілізатором в є підгрупа . Ми говоримом Г л м м × м е ( е ) ( х 1 , . . . , х т ) = е ( - 1 ( х 1 ) , . . . , A - 1 ( x m ) ) A ∈ $f(x_1, ..., x_m)$$m$$GL_m$$m \times m$$f$$(Af)(x_1,...,x_m) = f(A^{-1}(x_1),...,A^{-1}(x_{m}))$х 1 , . . . , x m m G L m f G L m Stab ( f ) = { A $A \in GL_m$$x_1,...,x_m$$m$$GL_m$$f$$GL_m$f f ′ m f ′$\text{Stab}(f) = \{ A \in GL_m : Af = f\}$$f$характеризується його симетрією, якщо має місце наступне: для будь-якого однорідного многочлена в змінних тієї ж міри, що і , якщо для всіх , то є постійний кратний .$f'$$m$A f ′ = f ′ A ∈ Stab ( f $f$$Af' = f'$$A \in \text{Stab}(f)$$f'$$f$

Відповідь Джошуа Грохова хороша, але я думаю, що варто зробити більш загальний коментар. Результат Розборова – Рудича говорить про те, що якщо ви хочете довести, що якась булева функція відсутня в , то (якщо вважати, що ви вважаєте їх криптографічною гіпотезою), ви повинні використовувати якесь властивість цієї функції, яке або нетривіальне для обчислення, або яке спільне лише невеликою кількістю інших булевих функцій. На практиці непросто придумати відповідні властивості; однак спостереження Разборов-Рудич насправді не виключає дуже багатьох загальних планів нападу на нижню межу ланцюга за відсутності конкретних деталей про передбачувані докази. Наприклад, припустимо, я наївно сказав, що мій план довестиN Р ⊈ Р / р про л у S T ∉ P / р про л у S Т Н Р Н $P/poly$$NP\not\subseteq P/poly$залучений показав, що , і що я мав намір використати той факт, що є незавершеним. Цей наївний "план нападу" майже не містить змісту, але Розборов – Рудич не виключає цього, оскільки незавершеність не є великою властивістю.$SAT\notin P/poly$$SAT$$NP$$NP$

Інакше кажучи, Разборов – Рудич зазвичай не представляє великої перешкоди на ранніх етапах планування лінії атаки по нижніх межах, доки ви не залишите у своєму плані місця для використання «спеціальних властивостей». Вашого кандидата булевих функцій. Лише коли ви засуваєте рукави і намагаєтеся заповнити деталі аргументу, що бар'єр натуралізації почне серйозно заднім головою. Зважаючи на те, що GCT все ще знаходиться на ранній стадії розвитку, ми не повинні сподіватися, що нам доведеться сильно турбуватися про натуралізацію (хоча, звичайно, варто перевірити, що програма GCT не приречена на тривіальні причини).

Ви також можете ознайомитись із експозицією Кен Регана щодо ГКТ, яка містить деякі зауваження щодо бар'єру натуралізації.