Що таке логарифм чи коренева операція у просторі типів?

Я нещодавно читав «Дві подвійності обчислення»: негативні та дробові типи . У статті розгорнуто суми та типи продуктів, надаючи семантику типам a - bта a/b.

На відміну від додавання та множення, існує не одна, а дві обертання експоненції, логарифми та вкорінення. Якщо типи функцій (a → b) є типово-теоретичною експоненцією, враховуючи тип a → b(або b^a), що означає мати тип logb(c)чи тип a√c?

Чи має сенс поширювати логарифми та корені на типи взагалі?

Якщо так, чи була якась робота в цій галузі, і які є хороші вказівки щодо того, як зрозуміти наслідки?

Я намагався шукати інформацію про це за допомогою логіки, сподіваючись, що листування Кері-Говарда може допомогти мені, але безрезультатно.

— efrey
джерело

Відповіді:

Тип має логарифм за основою з точно , коли . Тобто, можна розглядати як контейнер елементів в позиціях , заданих . На насправді, це питання з проханням до того , що потужність ми повинні підняти , щоб отримати . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

Є сенс працювати з де - функтор, щоразу, коли існує логарифм, тобто . Зауважте, що якщо , ми, звичайно, маємо , тому контейнер не повідомляє нам нічого цікавого, крім його елементів: контейнери з вибором фігур роблять не мають логарифмів. $\mathop{log}F$ $F$ $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ $F\:1\cong 1$

Знайомі закони логарифмів мають сенс, коли ви думаєте з точки зору наборів позицій

\begin{array}{rcll} l o g (K 1) & = & 0 & no positions in empty container \\ l o g I & = & 1 & container for one, one position \\ l o g (F \times G) & = & l o g F + l o g G & pair of containers, choice of positions \\ l o g (F \cdot G) & = & l o g F \times l o g G & container of containers, pair of positions \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

Ми також отримуємо де під палітуркою. Тобто шлях до кожного елемента в деяких кодатах визначається індуктивно, повторюючи логарифм. Наприклад, $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z . 1 + Z = N a t

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

Враховуючи, що похідна вказує нам тип у контекстах з одним отвором, а логарифм повідомляє нам позиції, ми повинні очікувати зв'язку, і справді

F 1 ≅ 1 \Rightarrow l o g F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

Там, де немає вибору форми, положення є таким самим, як контекст з одним отвором з стираними елементами. Більш загально, завжди представляє вибір форми разом з положенням елемента в межах цієї форми. $\partial F\:1$ $F$

Боюся, що про коріння я маю менше сказати, але можна почати з подібного визначення і слідувати за носом. Щоб дізнатися більше про використання логарифмів типів, перегляньте "Пам'ять функції політипічно!" Ральфа Гінзе. Маю бігти...

— свинарник
джерело

Відповідь від самого Да Мана. Ласкаво просимо, Коноре!

— Андрій Бауер

Хм, мені цікаво подивитися, що таке кореневі типи, оскільки вони потребують типів, що мають уявну кількість жителів. Якщо я не помиляюся. Я прийму вашу відповідь, але якщо у вас є час детально розробити коріння, це було б дуже вдячно.

— efrey

Чи можна це якось пов’язати із рядом Тейлора ln (1 + x)?

— yatima2975

З логарифмами та експоненціалами мені цікаво ... що нам потрібно, щоб побудувати об'єкт Неп'є ? (наприклад, нібито унікальний об’єкт, eтакий, що ∂e = e)

— Римоїд

Я не знаю жодної роботи, яка переслідує цю лінію, але кілька моментів роздумів про це привели мене до цієї гіпотези: не був би "корінь" експоненціального типу просто кодомейн, а "логарифм" експоненціалу просто домен?

— Марк Хаман
джерело

Правильно, тому я думаю, що ваша інтуїція гарна, але ваш висновок відсутній. Коренева операція та операція логарифму - це те, що ви отримуєте, коли "інвертуєте" кодомен або домен відповідно, а не самі домени (co). Питання в тому, що ми маємо на увазі під інвертуванням і що таке операція бінарного типу, яку вона виробляє?

— efrey

Не впевнений, що це правильно. Якщо у мене

й корінь

а базовий

логарифм -

. Інверсія полягає в роботі, а не в компонентах.

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

— Марк Хаманн

Вибачте, я не був повністю зрозумілий у своїй термінології. Я не маю на увазі запитувати "що таке корінь, що є результатом застосування функції логарифму". Мені цікаво, що таке операція вкорінення. Яка операція пошуку логарифму. Якщо →є екснентіація, що таке два типи під кореневою операцією. Що є двома типами при логарифмічній операції. Що я маю на увазі під "інвертувати аргумент", це те, що тут немає часу пояснювати. Я уточню своє питання, дякую.

— efrey

Папір, яку я зв'язав, містить семантику для типу a - bта типу a / b. Я не переймаюся результатом скорочення логарифму та кореня операцій, а розумінням їх семантики як операторів бінарного типу.

— efrey