Докази в

У розмові Розборова викладено цікаве невелике твердження.

Якщо ФАКТОРИНГ важкий, то мала теорема Ферма не є доказовою у $S_{2}^{1}$ .

Що таке $S_{2}^{1}$ і чому поточні докази відсутні в $S_{2}^{1}$ ?

$S^1_2$ - це теорія обмеженої арифметики, тобто слабка аксіоматична теорія, отримана шляхом жорсткого обмеження схеми індукціїарифметики Пеано. Це одна з теорій, визначених Сем Буссом у йогодипломній роботі, інші загальні посилання включають главу V Гаєка та Пудлак «Метаматематика арифметики першого порядку», Крайчекова «Обмежена арифметика, теорія пропозицій та теорія складності», Глава ІІПосібника Бусса. теорії доказівтаЛогічні основи складності доказуКука та Нгуєна.

$S^1_2$

Усі відомі докази теоретики Ферма використовують або об'єкти розміру експоненціальної величини, або вони покладаються на точне підрахунок розмірів обмежених множин (що, ймовірно, не визначено обмеженою формулою, тобто в ієрархії поліномів, через теорему Тоди).

$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$ .

Це правда, що це є наслідком FLT, але насправді це набагато, значно слабкіше твердження, ніж FLT. Зокрема, це твердження випливає із принципу слабкого голубого отвору, який, як відомо, є підданим у підсистемі обмеженої арифметики (хоча і сильніший, ніж ). Таким чином, аргумент Крайчека і Пудлака показує, що не підтверджує принцип слабкого голуба, якщо тільки факторинг не є легким, і як такий забезпечує умовне відокремлення від іншого рівня обмеженої арифметичної ієрархії, скажімо, .$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

На відміну від цього, фактичний FLT навіть не здається доказовим у повно обмеженій арифметиці , але це не пов'язано з криптографією. Ви можете знайти відповідне обговорення в моїй роботі абелевих груп та квадратичних залишків у слабкій арифметиці .$S_2=T_2$