Більше зображення за вибором матриць в алгоритмі Страссена

В алгоритмі Страссена для обчислення добутку двох матриць і матриці і діляться на блок-матриці, і алгоритм протікає рекурсивно, обчислюючи блок-матричних матричних добутків на відміну від наївних матричних блокових матриць- матричні продукти, тобто, якщо ми хочемо , де $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ $2 \times 2$ $7$ $8$ $\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B}$ тоді маємо

A = [\begin{matrix} А_{1, 1} & А_{1, 2} \\ А_{2, 1} & А_{2, 2} \end{matrix}], Б = [\begin{matrix} Б_{1, 1} & Б_{1, 2} \\ Б_{2, 1} & Б_{2, 2} \end{matrix}], С = [\begin{matrix} С_{1, 1} & С_{1, 2} \\ С_{2, 1} & С_{2, 2} \end{matrix}]

$\mathbf{A} =\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\ \mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\ \mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2} \end{bmatrix} \mbox { , } \mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\ \mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2} \end{bmatrix}$

що вимагає

множень. Замість Strassen ми обчислюємо

С_{1, 1} = А_{1, 1} Б_{1, 1} + А_{1, 2} Б_{2, 1} С_{1, 2} = А_{1, 1} Б_{1, 2} + А_{1, 2} Б_{2, 2} С_{2, 1} = А_{2, 1} Б_{1, 1} + А_{2, 2} Б_{2, 1} С_{2, 2} = А_{2, 1} Б_{1, 2} + А_{2, 2} Б_{2, 2}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}$

8

$8$

і отримаємо

, використовуючи

's як

М_{1} : = (А_{1, 1} + А_{2, 2}) (Б_{1, 1} + Б_{2, 2}) М_{2} : = (А_{2, 1} + А_{2, 2}) Б_{1, 1} М_{3} : = А_{1, 1} (Б_{1, 2} - Б_{2, 2}) М_{4} : = А_{2, 2} (Б_{2, 1} - Б_{1, 1}) М_{5} : = (А_{1, 1} + А_{1, 2}) Б_{2, 2} М_{6} : = (А_{2, 1} - А_{1, 1}) (Б_{1, 1} + Б_{1, 2}) М_{7} : = (А_{1, 2} - А_{2, 2}) (Б_{2, 1} + Б_{2, 2})

$\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}\\ \mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})\\ \mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})\\ \mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}\\ \mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})\\ \mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})$

C_{i, j}

$\mathbf{C}_{i,j}$

M_{k}

$\mathbf{M}_{k}$

C_{1, 1} = M_{1} + M_{4} - M_{5} + M_{7} C_{1, 2} = M_{3} + M_{5} C_{2, 1} = M_{2} + M_{4} C_{2, 2} = M_{1} - M_{2} + M_{3} + M_{6}

$\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}\\ \mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}\\ \mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}\\ \mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}$

M_{k}

$\mathbf{M}_k$

A

$\mathbf{A}$

B

$\mathbf{B}$ ? Also, I would expect

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ 's to involve

A_{i, j}

$\mathbf{A}_{i,j}$ 's and

B_{i, j}

$\mathbf{B}_{i,j}$ 's in a symmetric fashion, which does not seem to be the case here. For instance, we have

M_{2} := (A_{2, 1} + A_{2, 2}) B_{1, 1}

$\mathbf{M}_2: = (\mathbf{A}_{2,1}+\mathbf{A}_{2,2})\mathbf{B}_{1,1}$ . I would expect its counterpart say

A_{1, 1} (B_{1, 2} + B_{2, 2})

$\mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{B}_{2,2})$ also to be computed. However, it is not since it can be obtained from other

M_{k}

$\mathbf{M}_k$ 's.

I would appreciate if someone could throw some light on this.

— Громада
джерело

Відповіді:

De Groote (Про різновиди оптимальних алгоритмів для обчислення білінеарних відображень. II. Оптимальні алгоритми для матричного множення 2х2. Теор. Обчислення. Наук. 7: 127-148, 1978) доводить, що існує лише один алгоритм множення. $2 \times 2$ -матриці з 7 множеннями до еквівалентності. Це може бути унікальною особливістю $2 \times 2$ -матричне множення. (Примітка. Ви знайдете різні варіанти алгоритму Страссена в літературі. Всі вони еквівалентні правильному поняттю еквівалентності.)

Якщо ви зараз почнете доводити нижню межу для $2 \times 2$ -матричне множення - див. книгу Бюргіссера, Клаузена та Шкроллахі, як це зробити - тоді алгоритм Страссена чи якийсь варіант відображається цілком природно. Ви дізнаєтесь багато ідентичності, яка визначає, як виглядають вироби. Тоді можна закінчити деякими здогадками. (Доказ Де Гроота показує, що навіть здогадки не потрібні.)

Один раз Шенхаге сказав мені, що Страссен якось сказав йому, що він знайшов свій алгоритм таким чином, намагаючись довести нижню межу.

— Маркус Блазер
джерело

Існує якесь пояснення в книзі «Алгебраїчна теорія складності» Бюргіссера, Клаузена і Шокроллахі (с. 11-12). Ідея - почати з двох основ $A_0,A_1,A_2,A_3$ і $B_0,B_1,B_2,B_3$ простору $2\times 2$ реальні матриці, які задовольняють такій властивості: $A_iB_j \in \{0,A_0,A_1,A_2,A_3,B_0,B_1,B_2,B_3\}$ . Крім того, $A_0 = B_0$ . Помножити дві матриці $A$ і $B$ , представити кожну з них у відповідній основі та оцінити продукт. Оскільки в результаті з'являються лише сім різних ненульових матриць ( $A_0=B_0,A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$ ) потрібно лише сім продуктів. The $M$ матриці - саме ці основи.

Я не знаю, чи придумав Страссен такий спосіб його погляду. Враховуючи інші тотожності, що лежать в основі алгоритмів множення матриць швидкої матриці, незрозуміло, чи є щось глибше, ніж деякі формули, що розробляються. Ми вже проходили це раніше - Лагранж використовував чотири квадратну тотожність (про яку було відомо раніше), щоб довести теорему чотирьох квадратних. Спочатку це, мабуть, було просто цікавою алгебраїчною ідентичністю, але тепер ми знаємо, що вона констатує властивість мультиплікативності кватерніонної норми. З огляду на сучасний стан знань, важко сказати, чи є вищезазначене тлумачення настільки продуктивним.

— Юваль Фільм
джерело

Такі бази називаються парами М, див. Главу про алгебри мінімального рангу в книзі Бюргіссера, Клаузена та Шокроллахі. Я думаю, що досить важко придумати думку, що M-пари існують, не знаючи теореми Альдера-Страссена (див. Знову книгу вище). Зокрема,

2 \times 2

$2\times 2$ -матриці - єдина алгебра матриці, для якої існує пара М.

— Маркус Блазер