Малий графік із зазором між хроматичним та векторним хроматичним числом?

12

Я шукаю невеликий графік $G$ чиє векторне хроматичне число менше, ніж хроматичне число, $\chi_v(G)<\chi(G)$ .

( є вектор хроматичного числа , якщо є завдання , де інтуїтивно вектори , пов'язані з сусідніми вершинами є далеко один від одного Ця вимога. . Наприклад, для вершин трикутника достатньо.) $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

Векторне хроматичне число графа не більше хроматичного числа: $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ . Відомі приклади графіків з $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$ . (Оригінальний документ Каргера, Мотвані, Судану [JACM, 45: 246-265] ( рукопис ) пропонує узагальнені графіки Кнайзера ; в останній статті використовується конструкція, заснована на випадкових одиницях векторів.)

Я думаю, що я маю на прикладі графік $K$ з $\chi_v(K)=4$ і $\chi(K)=8$ (на основі комп'ютерного обчислення). Цей графік має 20 вершин і 90 ребер.

Чи є менший приклад? Привабливим проспектом було б забезпечити конкретний векторний 3-розфарбований графік Чваталя чи Гетца, якщо такий звір існує.

( $\chi_v$ не повинно бути цілим числом, але це було б добре. Оновлення: Як зазначено нижче, неінтегральний випадок дійсно простий. Дякую.)

Оновлення: Grötzsch та Chvátal

Я не міг протистояти думці про векторне 3-розфарбовування графіків Чватала та Грьотша.

Графік Ґреца може бути векторним 3-кольоровим таким чином: Помістіть вузол ступеня п'ять на північний полюс. Вузли 5 градусів-4 рівномірно розміщені на одній широті, близько 77 градусів від півночі: уявіть пентраграму, намальовану на північній півкулі Землі. Решта 5 вузлів (3 ступеня) опиняються на Південній півкулі, приблизно в 135 градусах від Північної. Вони мають ту саму довготу, що й 5 інших. (Я завантажу малюнок, коли у мене його буде, але важче намалювати геодезичні лінії в TikZ, ніж я думав.)

Згідно з рішенням SDP, Chvátal також допускає векторну 3-кольорову забарвлення, але вихід - це лише купа векторів у 5 вимірах, які у мене виникають труднощі з інтерпретацією.

(Третя спроба провалилася. Надихнувшись побудовою Юрія, візьміть 5-цикльний цикл і додайте вершину вершини, що примикає до всіх інших. Цей графік має хроматичне число 4. Але, за моїм рішенням, він не є векторним 3-кольоровим.)

— Торе Хусфельт
джерело

1

Чи можете ви надати посилання чи defn для векторного хроматичного числа?

— Суреш Венкат

4

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

7

$\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

$\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ $G_2$

\begin{aligned} χ (G) & = max (χ (G_{1}), χ (G_{2})) = χ (G_{1}) = 6. \\ χ_{v} (G) & = max (χ_{v} (G_{1}), χ_{v} (G_{2})) = max (2 \cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— Юрій
джерело

3

Ось це вбудовування графіка Гржеш на одиничну сферу: введіть тут опис зображення Це відповідає векторному забарвленню очевидним чином; наприклад, вершина на північному полюсі забарвлена вектором (0,0,1).

Графік Ґрец має 3 типи вузлів. Одиничний ступінь 5 вузлів (на півночі). П’ять вузлів 4 ступеня (на Північній півкулі, рівновіддаленій від N, можна виділити 3 з них). П’ять вузлів 3 ступеня (на Південній півкулі, рівновіддаленій від N, можна виділити 3 з них).

N з'єднаний із своїми 5 сусідами на Південній півкулі зеленими краями. (Зверніть увагу, що зелений край виглядає так, ніби він падає на 4-вершину ступеня у Північній півкулі, але це артефакт вбудовування.)

Якщо зверху , ви можете розібрати пентаграму, описану вузлами 4 ступеня, подібну до вбудовування у площину: $C_5$ введіть тут опис зображення

Нарешті, вид зверху на Південний полюс: введіть тут опис зображення

Якщо вірити моїм підрахункам, всі сусідні вершини знаходяться на відстані більше 120 градусів одна від одної, тож це є дійсним векторним 3-кольоровим забарвленням. Графік Гетца є 4-хроматичним. 11 вершин, 20 ребер. Я особливо радий цьому прикладу, тому що векторне забарвлення в трьох вимірах, ви можете його візуалізувати. (І намалюйте випадкові гіперплани, щоб пояснити алгоритм забарвлення графіка KMS.)

— Торе Хусфельт
джерело