Набір наборів з підсемейством

Дозволяє $F$ бути сім'єю $d$-елементи підмножини кінцевої Всесвіту $U$об'єктів. Родина$H$ з $k$-елементи підмножини $U$, с $1 \le k < d$, є $(k,d)$- наїзд набору з$F$ якщо для кожного $V \in F$ існує хоча б один набір $W \in H$ такий як $W \subset V$.

Дано колекцію $F$ як вище, то $(k,d)$- проблема встановлення ударів - знайти найменший$(k,d)$-hitting-set $H$ для $F$.

Коли $k = 1$у нас є стандартна проблема встановлення ударів, і для неї є багато попередніх результатів. Я знаю параметризований аналіз для випадку з$k = 1$ і $d \le 3$(див., наприклад, Бранкович і Фернау ).

Хтось знає якісь результати щодо складності чи твердості наближення $(k,d)$-задача встановити проблему з:

1. $k = 1$ і $d = 4$?
2. $d = 4$ і $1 < k < d$?
3. $1 \le k < d$ і $d$ довільне?

На постійну $d$ то $(k,d)$-проблема набору не важче, ніж оригінал $d$-набір набору (тобто $k=1$) з огляду як наближення, так і параметризовану складність. Існує просте скорочення від$kd$-HS до $d$-HS. Наприклад$(U,\mathcal{F},d,k)$ першої проблеми ми отримуємо примірник $(U',\mathcal{F'},d)$ другого, в якому кожен елемент $e \in U'$ відповідає a $k$підмножина елементів $U$, і кожен комплект у $\mathcal{F'}$ відповідає набору в $\mathcal{F}$ таким же чином (тобто відображення всіх) $k$-елементи підмножини $U$ до елементів в $U'$). З тих пір$k$ є постійною величиною нового екземпляра є поліноміальною функцією розміру першого екземпляра ($O(n^k)$). Набір ударів для першої задачі відповідає набору вражаючих однакової кардинальності для другої проблеми, і навпаки, отже, зменшення зберігається наближенням.