У чому полягає складність цієї проблеми фарбування краю?

Останнім часом я стикався з наступним варіантом фарбування країв.

З огляду на підключений непрямий графік, знайдіть забарвлення ребер, яка використовує максимальну кількість кольорів, одночасно задовольняючи обмеження, що для кожної вершини краї, що падають на використовують не більше двох кольорів. $v$ $v$

Перший мій здогад - це те, що проблема непроста. Класичні NP-важкі докази для проблем з фарбуванням графіків здебільшого зменшуються від 3SAT. Але, на мій погляд, ці докази не корисні для цієї проблеми, оскільки краї, що падають на вершину, можуть бути забарвлені одним кольором, тому ми не можемо побудувати логічні компоненти на графіку.

Чи може ця проблема бути важкою для NP? Якщо так, що таке доказ? Якщо ми не можемо довести доказ, чи існує якийсь метод визначення складності цієї проблеми?

Спасибі!

— RIC_Eien
джерело

Можливо, змішане або обмежене кольором забарвлення гіперграфа може стати початком? Наприклад, dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019

— Андраш Саламон

Здається, ваша проблема полягає в P у два етапи: (1) ваша проблема еквівалентна пошуку підмножини максимального розміру ребер таким чином, що кожна вершина має ступінь не більше двох, і (2) остання проблема здається в P, скажімо, зведення до відповідності. Щодо (1), зауважте, що будь-яке рішення вашої проблеми з k кольорами дає підграф 2-го ступеня розміром k (просто збережіть по одному краю від кожного кольору), і, навпаки, будь-який підграф-ступінь розміру k дає рішення з k кольорами (просто пофарбуйте кожен край у підграфові за своїм кольором, а решту країв пофарбуйте будь-яким із кольорів). Що я пропускаю?

— Ніл Янг

Мені шкода, що у вашій відповіді є кілька помилок. Спочатку проблема "знайти підмножину максимального розміру ребер таким чином, щоб кожна вершина мала ступінь не більше двох", є NP-жорстким, зменшенням до 3SAT (я не знаю, як це могло мати зменшення до відповідності). Більше того, "будь-який підграф рівня 2-го розміру k" не дає "рішення з k кольорами", наприклад, "Повна графіка". Дякую вам все одно.

— RIC_Eien

Так, ви праві. Щодо (2), крок "забарвлення решти країв будь-яким із кольорів" може дати кілька вершинних ребер з трьох кольорів. Окремо Марек Хробак запропонував мені такий алгоритм. Я думаю, що це дає 3-наближення: (i) знайти максимальну відповідність M; (ii) пофарбуйте кожен край у M власний унікальний колір; (iii) пофарбуйте решта країв білим.

— Ніл Янг

@RIC_Eien: Загрожуючи подальшим збентеженням. Ви впевнені, що "проблема" в пошуку підмножини максимального розміру ребер таким, що кожна вершина має ступінь не більше двох ", NP-важко"? Дано G = (V, E), створіть двостороннє G2 = (U, W, E2), де для кожної вершини v в V є v 'в U і v' 'в W, а E2 = {(u', w ''): (u, w) в E}. Тоді відповідність у G2 відповідає множині 2 ребер у G, а відповідність зберігає розмір? (Оскільки кожному k-циклу C в G відповідає G2 або 2k-цикл (якщо k непарний), або два k-цикли (якщо k парне).) Так макс-відповідність у G2 вирішує його. Чого я пропускаю цього разу?

— Ніл Янг

$q$

Параметризовані аспекти складності цієї проблеми розглянуті в цій останній роботі .

— vb le
джерело

Я довго думав над цією приємною проблемою ... Чи можете ви, будь ласка, описати зменшення? У мене немає доступу до паперу. Спасибі!

— користувач13667

@ user13667 Ви можете попросити авторів надіслати вам копію документа. Я думаю, що вони з радістю зробили б це.

— vb le

Також було вивчено пов'язане питання пошуку фарбування, яке максимально збільшує кількість кольорів при мінімізації розміру найбільшої групи кольорів. Наприклад, ця магістерська дисертація має кілька детальних результатів.

— Нельдхара