Порахуйте кількість осінніх дерев швидко

$t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Цікаво, чи є спосіб швидше обчислити $t(G)$ . (Так, алгоритми $O(n^3)$ для обчислювального детермінанта є швидшими, але мене цікавить новий підхід.)

Це також цікаво розглянути спеціальні сімейства графіків (планарних, можливо?).

Наприклад, для циркуляційних графів може бути обчислено в арифметичних операціях через тотожність , де - ненульові власні значення матриці Лаплаціана , які можна швидко обчислити для циркуляційних графів. (Представляємо перший рядок як многочлен, а потім обчислюємо його на -му коренях єдності. Цей етап використовує дискретні перетворення Фур'є і може бути виконано в арифметичних операціях .) $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

Велике спасибі!

— Фінський
джерело

Сергію, я намагався відредагувати ваше запитання, щоб поліпшити ясність. Перевірте, чи я правильно зрозумів ваше запитання та чи не ввів помилок.

— Тайсон Вільямс

Ось один більш загальний приклад граф сімей , де знайти складність можна зробити швидше: графи Келей для абелевих груп

з утворюючим набором

, так що

. Ми знаємо, що власними значеннями такої матриці є

, де

- різні символи групи. Усі символи легко знайти (для отримання додаткової інформації проконсультуйтеся в цьому документі ), обчислення цих символів -

розмірне FFT (див. Розділ Cormen et al. Про FFT), тобто може бути виконано в

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Фінський

Більше інформації про графіки Кейлі див. У цій книзі .

— Фінський

Робити лінійну алгебру з лаплаціанською, а не загальною матрицею, часто простіше. Цікаво, чи це може бути актуально.

— Гіл Калай

Чи можете ви, будь ласка, бути більш конкретними, якщо це можливо, навести кілька прикладів, навіть якщо це не пов'язане безпосередньо з обговорюваною темою. Дякую.

— Фінський

Воно відомо , що для обмеженою деревної ширини, Татта полінома може бути оцінено в будь-якому з допомогою арифметичних операції. Якщо підключений, то . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Раду Куртикапей
джерело