Альтернативні докази лемми Шварца – Зіппеля

Мені відомі лише два докази лемми Шварца – Зіппеля. Перший (більш поширений) доказ описаний у статті вікіпедії . Другий доказ виявила Дана Мошковіц.

Чи є інші докази, які використовують суттєво різні ідеї?

Ось ще одна ідея, яку я мав для геометричного доказу. Він істотно використовує проективну геометрію.

Нехай аффинной точка поза гіперповерхні S . Спроектуйте гіперповерхню на нескінченну гіперплан, використовуючи c як центр; тобто відображення кожного x ∈ S на p ( x ) , перетин унікальної прямої через c і x з гіперплощиною в нескінченності. Зображення під р- точкою в нескінченності всі лежать на одній прямій, і тому (знову зменшуючи задачу до розмірності 1) їх більшість d є. Гіперплощина в нескінченності має кардинальність | F м $c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$, таким чином ми отримуємо знайомі верхню межу | S | ≤d | F m - 1 | .$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Як відповідь на відповідь Пер Вогнсена, доказ Дани Мошковіц вже пропонує дуже легкий доказ лише дещо слабшої версії леми Шварца-Ціппеля, що, на мою думку, є достатньою для більшості застосувань.

$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Враховуючи легкість цього доказу, я впевнений, що це фольклор; якщо ні, то має бути :) Буду вдячний, якщо хтось міг би надати довідку.

Доказ Мошковіца ґрунтується на простої геометрії, але папір не є надто зрозумілим на цьому. Ось ідея:

$d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$$d\ |F|^{m-1}$

Це говорить про те, що інші докази, подібні до цього, можуть спрацювати.

$w = 0$

Редагувати: Дивіться мою іншу відповідь щодо нового (але не зовсім незв'язаного) доказу.

Спроба 1:

Ви подивилися на лему А.36 (стор. 529) книги Арора / Барака ? Це майже півсторінки, і ґрунтується на індукції.

Якщо у вас немає доступу до книги, я можу здійснити доказ тут.

Спроба 2:

Що з цікавою історією лемми Шварца-Зіпеля ? Серед інших він цитує статті DeMillo-Lipton , що датуються 1977 р. Кілька інших робіт також названі та порівняні.

Спроба 3:

Цікава тема MathOverflow також може бути цікавою: алгоритм P / poly для тестування ідентичності поліномів .

Лема Шварца-Зіппеля є особливим випадком теореми Нога Алона та Золтана Фюреді, як показано у розділі 4 цієї статті: Про нулі полінома в кінцевій сітці , а отже, будь-яке нове доказ цієї теореми дає нове підтвердження Шварца -Зіппель. На сьогоднішній день я знаю шість різних доказів, два з яких містяться в папері, а інші - там.

Теорема Алон-Фуріді говорить наступне:

$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$, де мінімум взято на всі додатні цілі числа з .$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

У цьому випадку, якщо ви припускаєте, що і мінімум (що можна легко зробити за допомогою згаданих у статті речей "Кулі в бункерах"), ви отримаєте лемму Шварца-Зіппеля над полем (або домен).$\deg f < \min \#A_i$

Оригінальна формулювання леми Шварца-Зіппеля стосується лише полів:

Лема (Шварц, Зіпель).
Нехай бути ненульовий многочлен ступеня загальної над полем, . Нехай кінцеве підмножина , і нехай бути обрані випадковим чином незалежно один від одного і рівномірно з . Тоді $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Можна переформулювати лему таким чином, щоб вона мала сенс для довільних комутативних кілець:

Лема (Jeřábek).
Нехай бути ненульовий многочлен повної ступеня над комутативним кільцем, . Нехай - кінцева підмножина з і нехай бути обрані випадковим чином незалежно один від одного і рівномірно з . Тоді $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ S Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Перевага доказу з Вікіпедії полягає в тому, що він узагальнює, щоб показати, що переформулювання справедливе для довільних комутативних кілець, що тут помітив і опрацював Еміль Йержабек .

Це дає альтернативне підтвердження лемми Шварца-Зіппеля шляхом доведення переформулювання для загальних комутативних кілець та отримання нормальної рецептури для полів як наслідку.