Нижні межі ланцюга над довільними наборами воріт

У 1980-х рр. Разборов чудово показав, що існують явні монотонні булеві функції (такі як функція CLIQUE), яким потрібно обчислити велику кількість воріт AND і OR. Однак основа {AND, OR} над булевою областю {0,1} є лише одним із прикладів цікавого набору воріт, який не є універсальним. Це призводить до мого питання:

Чи є якийсь інший набір воріт, що цікаво відрізняється від монотонних воріт, для яких відомі експоненціальні нижні межі щодо розміру ланцюга (без глибини та інших обмежень щодо схеми)? Якщо ні, чи є інший набір воріт, який є правдоподібним кандидатом на такі нижні межі --- межі, які не обов'язково вимагатимуть прориву бар'єру природних доказів, як це не призвело до монотонних схем Розборова?

Якщо такий набір воріт існує, то, безумовно, це буде над k-арним алфавітом для k≥3. Причина полягає в тому, що над двійковим алфавітом

(1) монотонні ворота ({AND, OR}),

(2) лінійні ворота ({NOT, XOR}) та

(3) універсальні ворота ({AND, OR, NOT})

в основному вичерпують цікаві можливості, як це випливає з теоретичної класифікації Поста. (Зверніть увагу, що я припускаю, що константи --- 0 і 1 у двійковому випадку --- завжди доступні безкоштовно.) З лінійними воротами кожна булева функція f: {0,1} ⁿ → {0,1} це обчислюється взагалі обчислюється за схемою лінійного розміру; з універсальним набором, звичайно, ми проти природних доказів та інших жахливих бар'єрів.

З іншого боку, якщо ми розглянемо набори воріт над алфавітом з 3 або 4 символами (наприклад), тоді відкривається більш широкий набір можливостей --- і, принаймні, наскільки мені відомо, ці можливості ніколи не були повністю відображені з точки зору теорії складності (будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся). Я знаю, що можливі набори воріт широко вивчені під назвою "клони" в універсальній алгебрі; Мені б хотілося, щоб я більше розбирався з цією літературою, щоб я знав, що якщо щось означає для цієї схеми складності.

У будь-якому випадку, це не викликає сумніву, що існують й інші драматичні схеми нижньої межі, що дозріли для доведення, якщо ми просто розширимо клас наборів воріт на обмежені алфавіти, які ми готові врахувати. Якщо я помиляюся, скажіть, будь ласка, чому!

(Переміщено з коментарів, як запропонував Суреш. Зверніть увагу, деякі помилки в коментарі виправлені тут.)

Дякую Скотту за чудове запитання.

Скотт, здається, припускає, що причиною складності нижчих меж може бути мова обмежених операцій у булевій справі. Аргумент підрахунку Шеннона, який показує, що більшість схем повинен бути великим, покладається на розрив між підрахунковою вираженою силою та незліченною кількістю схем. Цей розрив, схоже, зникає, коли алфавіт містить щонайменше 3 символи.

Для алфавіту розміром 2 (булева справа) решітка клонів помітно нескінченна і називається решіткою Поста .

Решітка Поста також ясно пояснює, чому існує лише кілька цікавих основ операцій для булевого випадку.

Для алфавіту розміром 3 і більше решітка клонів не піддається числу. Крім того, решітка не задовольняє жодної нетривіальної ідентичності решітки, тому представляється неможливим надати повний опис решітки. Для алфавіту розміром 4 і більше решітка клонів фактично містить кожну кінцеву решітку як підрешітку. Тож існує нескінченно багато можливо цікавих основ операцій, які слід враховувати, коли алфавіт містить 3 і більше символів.

• Булатов, Андрій А., умови, які задовольняють клонові ґрати , Algebra Universalis 46 237–241, 2001. doi: 10.1007 / PL00000340

Скотт запитав далі: чи решітка клонів залишається незліченною, якщо ми припускаємо, що константи доступні безкоштовно?

Відповідь - це так, див

• Градімир Войводич, Йованка Пантович та Ратко Тошич, Кількість клонів, що містять одинарну функцію , NSJOM 27 83–87 , 1997. ( PDF )
• Дж. Пантович, Р. Тошич та Г. Войводич, Кардильність функціонально повних алгебр на множині трьох елементів , Algebra Universalis 38 136–140, 1997. doi: 10.1007 / s000120050042

хоча, мабуть, це було опубліковано раніше:

• Ágoston, I., Demetrovics, J., and Hannák, L. Про кількість клонів, що містять усі константи , Зб. Математика. Соц. Янош Болай 43, 21–25, 1983.

Приємна конкретна заява:

• А. Булатов, А. Крохін, К. Сафін та Е. Суханов, Про структуру ґрунтових ґрат , В: "Загальна алгебра та дискретна математика", редактори: К. Денеке та О. Людерс, 27–34. Гельдерман Верлаг, Берлін, 1995 р. ( PS )

Висновок 3 (приписується Ágoston та ін., Як зазначено вище): Нехай . Тоді кількість клонів у що містять усі константи, дорівнює .$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

Для завершення я не знаю жодної роботи щодо використання не булевих клонів для нижньої межі ланцюга. Це здається варто вивчити більш глибоко. Враховуючи відносно мало, що відомо про решітки клонів, можуть бути цікаві основи операцій, які чекають їх виявлення.

Більше зв'язків між теорією клонів та інформатикою, ймовірно, також би зацікавило математиків, які працюють у універсальній алгебрі. Попередній приклад подібного роду взаємодії стався, коли Пітер Джевонс показав, що алгебри можуть бути пов'язані з мовами обмеження таким чином, що дозволяє переводити результати простежуваності у властивості алгебри. Андрій Булатов використав це для доказування дихотомії для CSP з розміром домену 3. По іншому шляху спостерігається пожвавлення інтересу до теорії приручення конгруентності в результаті застосування інформатики. Цікаво, що випливало б із зв’язку між теорією клонів та складністю ланцюга не булів.

Це переміщено з коментарів, як запропонував Суреш.

Якщо розглядати функції , то ситуація більше пов'язана з лінійними воротами, оскільки аргумент підрахунку показує, що є функції, які вимагають ворота для обчислення, хоча немає явних прикладів функції, яка вимагає схем надлінійного розміру.$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

Редагувати. Також за допомогою аргументу підрахунку може бути показано, що більшість функцій мають складність більше, ніж для деякої постійної , тому якщо ви просто виберете функцію випадковим чином, ви отримаєте a складна функція з високою ймовірністю.$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

З іншого боку, як у коментарях зазначає Скотт Ааронсон, не важко придумати кандидатів для лінійних перетворень, які повинні вимагати воріт XOR (Трансформація Фур'є, матриця "Серпінського прокладки" ... ), і Брам Коен запропонував приклад функції, яка повинна вимагати воріт XOR.$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

Редагувати 2. Основна перешкода полягає в тому, що у нас немає жодних методів доведення нелінійних нижніх меж навіть для лінійних воріт, наскільки я знаю (для лінійних нижніх меж можна використовувати усунення воріт, що навряд чи дасть -лінійні межі). Хоча схоже, що деякі методи лінійної алгебри справді повинні бути корисними. Тому придумати кандидатів приємно, але все одно потрібні нові методи.

1. Власне, були спроби довести менші межі для мікросхем, що працюють над більшими доменами, ніж . Скажіть, Ткачов [Вісник Московського університету, вип. 1, 1977, російською мовою] розглядаються схеми, що працюють з вхідними векторами в . Як ворота він дозволив і . Він вважав таку функцію: якщо містить або число 's в є принаймні числом s. Він показує, що для обчислення будь-якої схеми (над цією MIN / XOR) потрібно приблизно$\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$$1$$2^n/\sqrt{n}$$f$. Але це було! Я не знаю жодних подальших результатів подібної користі (перехід до більших, але все ще обмежених доменів), крім, звичайно, арифметичних речей. Але лише для схем - для розгалуження програми, що йде до більших доменів, завдання нижчих меж дещо простіше.

2. На схемах із воротами XOR. Тут навіть справа глибини широко відкрита. Найвищі нижні межі явних лінійних перетворень над мають вигляд . Довести такий зв'язок, як для константи , навіть на глибині і навіть якщо дозволені лише ворота XOR, є викликом.$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$