Чи руйнується ієрархія

Чи знаємо ми, що ієрархія $\mathsf{TC^0}$ не руйнується ( $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ для всіх $d$ )?

Запис у зоопарку для $\mathsf{TC^0}$ зазначає лише розділення між глибиною 2 та 3.

Чи є стандартна посилання на те, що $\mathsf{AC^0_d}$ ієрархія не руйнується?

— Каве
джерело

Питання, пов'язане з цим, було б, скільки різних функцій в

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ /

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$ ? Розумна нижня межа цих кількостей відповість на ваші запитання. Крім того, доказ жорсткості перетворення лема Хастада, можливо, відповість на ваше друге запитання.

— Махді Чераччі

Що стосується другого питання, я вважаю, що це було вперше доведено в статті Sipser 'STOC '83 «Набори Бореля і складність схеми» . Це дає лише суперполіноміальні нижні межі. Перші експоненціальні нижні межі було дано Яо, пізніше поліпшене Хестадом.

— Робін Котарі

@MCH, ти мав на увазі написати

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$ ? Або ви маєте на увазі кількість класів еквівалентності задач у

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$ wrt

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$ скороченнях?

— Kaveh

Що я маю на увазі дуже просто: Скільки різних функцій може представляти клас

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ розміром

s

$s$ ? (Ми можемо оцінити кількість схем дуже легко, але ми повинні бути обережними, щоб деякі з них могли обчислити ту саму функцію.) Після того, як ви покажете, що ця кількість зростає з

d

$d$ , ви закінчите.

— Махді Черагчі

@Dilworth, неоднорідний. Підрахунок, здається, не працює, інакше, як я зазначив нижче, ми можемо відокремити від який відкрито.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Каве

Відповіді:

Ми не знаємо хороших нижніх меж (мається на увазі, суперполіномальна нижня межа для мови в ) для порогових схем глибини 2 (необмежені ваги). Глибинні 3 схеми, побудовані з воріт більшості, тобто містить цей клас, тому ми також не знаємо гарних нижніх меж для цього класу. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Крістофер Арнсфельт Хансен
джерело

Це відповідає на моє запитання. Дякую, Кристоффер.

— Kaveh

Як я писав у коментарі вище, навіть якщо проблема в NEXP, як відомо, не знаходиться за межами TC , чи все-таки можливо, що нерівномірна ієрархія TC є правильною через нижню межу аргументу підрахунку?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Ділворт

Також, чи можу я запитати, як це відповідає відомим експоненціальним нижчим межам на TC та відриву глибини 3 від порогових кіл глибини 2, як повідомляється у зоопарку складності? Я щось пропускаю?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Ділворт

@Dilworth, я думаю, що це тому, що це визначено за допомогою більшості, а не порогу.

— Kaveh

Хм .. що ти точно маєш на увазі? Чи пов’язано це з заміткою, зробленою Крістофером про "необмежені ваги"?

— Ділворт

Якщо я не помиляюся, здається, що довести, що ієрархія не руйнується, принаймні так само складно, як відокремити від : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Позначимо задачу булевої оцінки формули . завершено для при зменшенні . $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Маніндра Аграваль, Ерік Аллендер та Стівен Рудіч, " Зменшення складності ланцюга: теорема ізоморфізму та теорема прогалини ", 1999 р., завершено для при скороченні . $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Припустимо . Тоді для деякого . Тому . Що означає, що . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Так для всіх ми маємо $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ означає і . $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Каве
джерело