Поширення проблеми стійкого шлюбу?

Це може здатися більше схожим на питання соціальних наук, ніж на питання ТКС, але це не так. Читаючи " Випадкові алгоритми ", в яких описується стабільна проблема шлюбу, можна прочитати наступне (p54)

"Можна показати, що для кожного вибору списків уподобань існує принаймні один стабільний шлюб. (Цікаво, що це не так у гомосексуальному моногамному суспільстві з парною кількістю жителів) ...."

Чи існують якісь дуже прості розширення проблеми стійкого шлюбу, які дозволяють отримати певний тип стійкого стану, що включає гомосексуальне моногамне суспільство, або суспільство, в якому певна група населення дотримується іншого набору правил, ніж більша кількість?

Стверджувально, чи є алгоритми, які виконують таке співставлення?

Існує відкрита здогадка щодо трьох типів людей. Припустимо, у вас є чоловіки, жінки та собаки, щоб чоловіки мали списки уподобань щодо жінок, жінки мали списки уподобань щодо собак, а собаки мали списки уподобань щодо чоловіка. Чи завжди існує стійкий шлюб?

(Для інших структур уподобань у суспільстві трьох типів відповіді, як відомо, є негативними).

Ще один коментар полягає в тому, що стабільний шлюб являє собою не порожнє ядро, і Шарф добре відомий, що передбачає наявність порожнього ядра. Відомо, що умови шарфа задовольняють первісну стабільну шлюбну проблему та проблему розподілу будинку. (Але не вдалося вирішити проблему чоловіків / жінок / собак).

Деякі посилання:

• $N$
• Документ, що демонструє різні програми для вирішальної леми Шарфа та цитує досить багато інших: (Зокрема, описана дробова версія теореми Гейла-Шаплі для гіперграфів Ахароні та Хольцмана): Р. Ахароні та Т. Флейнер, про лему Шарфа, Дж. Комбіна. Теорія Сер. Б 87 (2003), 72--80.
• Вирішення проблеми чоловіків-собак, коли їх є щонайбільше 4 особи кожної статі, з’являється у статті Eriksson et al. (Math Soc Sci, 2006).

Те, що ви запитуєте, більше не називається "Стабільна проблема шлюбу". Навпаки, це називається "Стабільна проблема сусідів по кімнаті". За даними Вікіпедії :

У математиці, особливо в галузях теорії ігор та комбінаторики, стійкою проблемою сусіда по кімнаті (SRP) є проблема пошуку стійкої відповідності - відповідності, в якій немає пари елементів, кожен з іншого зібраного набору, де кожен член пари віддає перевагу іншому в їх поєдинку. Це відрізняється від стійкої проблеми шлюбу тим, що проблема стабільних сусідів по кімнаті не вимагає розбиття набору на чоловічі та жіночі підмножини. Будь-яка людина може віддавати перевагу будь-кому в одному наборі.

Його зазвичай називають:

У заданому випадку проблеми Стабільних сусідів по кімнаті (SRP) кожен з 2n учасників класифікує інших у строгому порядку. Збіг - це набір з n розрізнених (не упорядкованих) пар учасників. Відповідна M в екземплярі SRP є стабільною, якщо немає двох учасників х і у, кожен з яких віддає перевагу другому своєму партнеру в М. Таку пару, як кажуть, блокують М або є блокуючою парою щодо М.

У Вікіпедії обговорюється відповідь на ваше запитання. Він говорить про те, що стабільний випадок не завжди може бути знайдений, але існує ефективний алгоритм, завдяки Ірвінгу (1985), який знайде таку відповідність, якщо така є.

Редагувати:

У СРП можливі кілька природних розслаблень: Замість того, щоб вимагати, щоб "немає двох учасників х і у, кожен з яких віддає перевагу другому своєму партнеру в М", можна вимагати, щоб:

1. Принаймні якась певна частка людей буде задоволена своїми сусідками по кімнаті. Тут здійсненності можна інтерпретувати по- різному. Наприклад:
   • Кажуть, що пара (x, y) задоволена, якщо y - перший вибір x, і навпаки.
   • Кажуть, що пара (x, y) задоволена, якщо один з x або y є першим вибором іншого.
   • Кажуть, що пара (x, y) є незадоволеною, якщо існує пара (z, w) така, що x подобається z більше, ніж y, а z подобається x більше, ніж w.
   • ...
2. Принаймні якась певна частка людей не задоволена своїми сусідками по кімнаті. (Ця вимога може бути різним , що вище , в залежності від інтерпретації здійсненності .)

$n$$m$