Чи існує графік кола, що не містить трикутника, без зірки, без кіл, з більш ніж n країв?

Я намагаюся знайти графік із цими властивостями для мого дослідження, але, на жаль, не можу знайти такий графік.

Хтось знає, чи є такий графік, чи чому його неможливо існувати?

graph-theory graph-classes

Чи можете ви пояснити свою термінологію? Що таке "без зірки" та що таке "круговий графік"?

— Yuval Filmus

Звичайно. =) Графік кола - це графік (непрямий), вершини якого можуть бути пов’язані з акордами по колу таким чином, що дві вершини є суміжними, якщо відповідні акорди перетинаються одна з одною. Ось зображення як приклад (з Вікіпедії): en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_graph.svg І ми можемо сказати, що у графіка є зірковий виріз, коли у вас вершина v така, що видаляє v та його сусідів (N [v]) від графіка обертається його відключеним.

— Рафаель Олівейра Лопес

ISGCI має визначення графіка без трикутника та кола . Зоряний виріз - це підмножина

S

$S$ вершин, що розділяє графік, таким, що одна вершина в

S

$S$ прилягає до кожної іншої вершини в

S

$S$ .

— Jeffε

Цей документ може бути актуальним.

— Jeffε

Відповіді:

Припустимо $G$ - графік кола без зірки, без трикутника. Я це покажу $G$ не містить вершин зі ступенем більше 2. Отже, $G$ має максимум $n$ краї.

Розглянемо подання кола $C$ з $G$ . Набір акордів паралельний, якщо два з них не перетинаються, але є лінія, що перетинає всі акорди.

Властивість 1 : $C$ не має 3 паралельних акордів.

Доказ . Припустимо $C$ має 3 паралельних акорда. Розгляньте вершину $v$ що відповідає середньому акорду. Тоді, $N[v]$ - це котлет. Це доводить властивість.

Заради суперечності припустімо $G$ має вершину $v$ ступеня не менше 3. Тоді акорд, відповідний $v$ перетинає 3 інші акорди. Оскільки ці 3 акорди перетинаються однією лінією, вони або паралельні, або два з них перетинаються. Завдяки властивості 1 дві з них перетинаються, що означає, що їх вершини утворюють трикутник із $v$ , що суперечить $G$ будучи трикутником.

— Серж Гасперс
джерело

Я не думаю, що власність 1 - це правда. Розгляньте акорди, що утворюють сторони звичайної

n

$n$ -гон, з кругом трохи більшим, щоб він містив

n

$n$ -gon, але не містить інших перетинів цих сторін.

— Девід Еппштейн

Добре, як виправлено, я думаю, що це працює, і простіше, ніж мій доказ.

— Девід Еппштейн

Ні, такої графіки не існує. Для того, щоб зрозуміти, чому ні, припустимо, у нас є графік кола, визначений безліччю трикутників. Дозволяє $n$ - кількість вершин графіка кола (або кількість акордів) та $m$ бути числом ребер графіка (перетинання двох акордів). Тоді проста індукція на кількість акордів показує, що розташування акордів має саме $m+n+1$ обличчя. Однак є максимум $2n$ обличчя, які торкаються кола (менше, якщо деякі особи торкаються кола більше, ніж один раз), так, якщо $m>n$ тоді повинні бути як мінімум дві внутрішні грані композиції. Дозволяє $p$ будь-який найкоротший шлях у подвійному графіку розташування ( квадратний ) від одного такого обличчя до іншого, і нехай $c$ будь будь-який акорд, подвійний до краю $p$ . Тоді зоряний виріз, індукований $c$ відокремлює деякі акорди, що обмежують обличчя на одному кінці $p$ від деяких акордів, що обмежують обличчя на іншому кінці.

— Девід Еппштейн
джерело