Графічні класи, діаметр яких можна обчислити у лінійному часі

Нагадаємо, діаметр графа є довжина самої довгої найкоротшому шляху в . З огляду на графік, очевидний алгоритм обчислення вирішує задачу про найкоротший шлях (APSP) для всіх пар і повертає довжину найдовшого знайденого шляху. $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

Відомо, що задачу APSP можна вирішити в оптимальний час для декількох класів графіків. Для загальних графіків існує теоретичний підхід алгебраїчного графа, який працює в час , де є обмеженим для матричного множення. Однак обчислення діаметра, очевидно, критично не пов'язане з APSP , як показав Юстер . $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

Чи відомі деякі нетривіальні класи графіків, для яких діаметр можна обчислити ще швидше, скажімо, у лінійний час?

Мене особливо цікавлять хордальні графіки та будь-які підкласи хордальних графіків, такі як блок-графіки. Наприклад, я думаю, що діаметр хордального графіка можна обчислити за час , якщо однозначно представлений як дерево клики. Такий графік також відомий як ур-хордальний . $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— Джухо
джерело

Для обчислення діаметру, як тільки дається дерево кліки, хордальні графіки поводяться (майже) так само, як дерева. Так само в інтервальному графіку домінуюча пара (яка існує в будь-яких графіках, що не містять AT) обов'язково визначає діаметр.

— Ісін Чао

@YixinCao Але загалом, кількість чітких дерев клик, які може мати хордальний графік, є експоненціальною в кількості вершин. Крім того, я не думаю, що діаметр однаковий у кожного дерева клики. Я думаю, це проблема, але в ур-хордальному графіку діаметр дерева клики неоднозначний. Чи мали на увазі щось інше?

— Juho

Я не кажу, що діаметр хордального графа такий же, як у дерева його кліки. (Зірка вершин може мати дерево клацання, яке є трактом вузлів.) Я мав на увазі, що діаметр графіка повинен бути між деякою парою листків (будь-якої спрощеної вершини в ній) у дереві клики.

k + 1

$k+1$

k

$k$

— Ісін Цао

@YixinCao ОК, тепер я розумію краще. Тим не менш, (швидкий) алгоритм для мене все ще не очевидний. Якщо у вас є якісь додаткові деталі або посилання, будь ласка, не соромтеся!

— Juho

Відповіді:

Ексцентриситет вершини - це довжина найдовшого найкоротшого шляху, що починається від . Діаметр - максимальний ексцентриситет над усіма вершинами. Будь-який BFS з вершини встановить його ексцентриситет. Отже, ключовою ідеєю для ефективного пошуку діаметра є попередня обробка графіка для пошуку невеликого набору вершин, принаймні одна з яких досягає максимальної ексцентриситету. $v$ $v$

Виконуючи лексикографічний пошук на широті , кінцева вершина часто має високу ексцентричність. Зокрема, гарантовано мати ексцентриситет щонайменше на один менше діаметра для хордальних графіків. Для деяких підкласів хордальних графіків, таких як інтервальні графіки , гарантується максимальний ексцентриситет. Це також стосується деяких нехордальних класів, таких як -вільні графіки. $\{\text{AT},\text{claw}\}$

LBFS і BFS є лінійними за розміром графіка, але, звичайно, якщо (наприклад, ), тоді час виконання не буде . Ваша дискусія означає, що ви, мабуть, дуже хочете лінійний алгоритм а не . $m = \Omega(n^2)$ $K_n$ $o(n^2)$ $O(m+n)$ $o(n^2)$

Отже, для деяких підкласів хордальних графіків лінійний алгоритм - це запустити LBFS, взяти кінцеву вершину, а потім запустити BFS, починаючи з цієї вершини. Для хордальних графіків це визначає діаметр з похибкою не більше 1. Графіки, для яких це точно, здаються такими, де рівні сили є хордальними. Це саме ті хордальні графіки, які не містять східного сонця або підграф, що зберігає відстані. $(\text{rising sun}- K_2)$

_{(джерело: graphclasses.org )}

Феодор Ф. Драган, Фальк Ніколай та Андреас Брандштадт, упорядкування LexBFS та повноваження графіків , WG 1996, LNCS 1197, 166–180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

Я не знаю, чи можна це розширити, щоб точно обчислити діаметр для всіх хордальних графіків. Опитування Корнейля, схоже, свідчить про те, що це все ще було відкрито у 2004 році. Я також не знаю, чи був зроблений аналіз на розширення пошуку від однієї вершини до невеликої постійної кількості або початкових вершин; це може бути цікавим для вивчення. $\log n$

Дерек Г. Корней, Лексикографічна ширина першого пошуку - опитування , WG 2004, LNCS 3353, 1–19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— Андраш Саламон
джерело

Цікаво, дякую! І так, я мав на увазі а не . Наче графіки, які мене хвилюють на даний момент, не містять жодного із згаданих підграфів, тому це справді приємно.

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Juho

Зазначені блок-графіки у питанні є спадковими. Лінійний алгоритм часу для обчислення діаметра для спадкових графіків дано в [1] (див. Теорему 5).

[1] Драган, Федір Ф. Домінуючі кліки у спадкових графіках. Спрингер Берлін Гейдельберг, 1994 рік.

— Джухо
джерело