Параметризована складність заданого набору в кінцевому розмірі VC

Мене цікавить параметризована складність того, що я буду називати задачею d-Dimensions Hitting Set: заданий простір діапазону (тобто система набору / гіперграф) S = (X, R), що має розмір VC не більше d та a додатне ціле число k, чи містить X підмножина розміру k, що вражає кожен діапазон у R? Параметризована версія задачі параметризується k.

Для яких значень d задача задачі d-вимірювальних ударів

• в FPT?
• в W [1]?
• W [1] -твердий?
• W [2] -твердий?

Що я знаю, можна підсумувати так:

• 1-мірний набір ударів знаходиться в P і тому знаходиться в FPT. Якщо S має розмірність 1, то не важко показати, що або існує набір вражаючих розмірів 2, або матриця падіння S повністю збалансована. У будь-якому випадку ми можемо знайти мінімальний набір ударів у поліноміальний час.

• 4-мірний набір ударів W [1] -твердий. Dom, Fellows та Rosamond [PDF] довели W [1] -твердість для задачі про забивання осі-паралельних прямокутників у R ^ 2 осі-паралельні лінії. Це можна сформулювати як набір ударів у просторі діапазону VC-вимір 4.

• Якщо обмеження не встановлено на d, у нас є стандартна проблема встановлення ударів, яка W [2] -повна і NP-повна.

• Лангерман і Морін [посилання цитата] дають алгоритми FPT для Set Cover в обмеженому розмірі, хоча їхня модель обмеженої розмірності не є такою ж, як модель, визначена обмеженою VC-розмірністю. Можливо, їхня модель не включає, наприклад, проблему удару напівпросторів точками, хоча проблема прототипу для їх моделі еквівалентна ударам у гіперплани точками.

Я думаю, що ця проблема є надто важкою. Ми не знаємо відповіді на набагато простіші проблеми в цій родині. Наприклад, задавши набір n точок у площині та набір (скажімо, n) одиничних дисків, вирішіть, чи є кришка точок на k одиничних дисків. Для цього існує простий алгоритм часу n ^ O (k), і я би не здивувався, якщо за допомогою відомих відомостей можна зробити n ^ O (sqrt {k}) (але навіть це не очевидно), але робити f ( k) * n ^ {O (1)} відкрито, і насправді було б досить цікаво. Наближення (1 + eps) випливає з роботи Мустафи та Рея http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 .

BTW, для безперервної версії, де дозволений будь-який одиничний диск, можна вирішити проблему за n ^ {O (k)}. PTAS в цьому випадку також досить легко, використовуючи зрушені сітки.

Ми вирішуємо це питання в новому препринті: http://arxiv.org/abs/1512.00481

Ударний набір у гіперграфах низького розміру VC (Карл Брінгманн, Ласло Козма, Шай Моран, Н. С. Нараянасвамі).

Виявляється, набір ударів W [1] -твердий вже тоді, коли розмір VC дорівнює 2.

Стаття Даніеля Маркса: Ефективні схеми наближення геометричних задач ». ESA 2005: 448-459 є досить актуальним.