Чи є рівномірний RNC міститься в полілогічному просторі?

Уніфікований NC-простір NC-простору міститься в детермінованому полілогічному просторі (іноді пишеться PolyL). Чи є рівномірний RNC з логістичним простором і в цьому класі? Стандартна рандомізована версія PolyL повинна бути в PolyL, але я не бачу, що (рівномірний) RNC знаходиться в рандомізованому PolyL.

Складність, яку я бачу, полягає в тому, що в RNC схема може «дивитися на випадкові біти» стільки, скільки хоче; тобто випадкові входи можуть мати довільну подачу. Але у рандомізованій версії PolyL це не так, як ви отримуєте стрічку випадкових бітів, яку ви хочете переглянути, скільки хочете; швидше, вам дозволяється лише гортати монету на кожному кроці.

Спасибі!

Можливо, більшість людей думає, що R N C ⊆ D S P A C E ( p o l y l o g ) (або навіть що R N C = N C ), але я скептично ставлюсь до цього (див. Другу частину мого відповідь, нижче). Якщо R N C дійсно міститься в D S P A C E ( p o l y l o g ) , то він також міститься в $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{DSPACE(polylog)}$$\mathsf{RNC}=\mathsf{NC}$$\mathsf{RNC}$$\mathsf{DSPACE(polylog)}$T I M E ( 2 p o l y l o g ) (точніше, це в D T I M E ( 2 p o l y l o g ) шляхом вичерпного пошуку).$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{DTIME(2^{polylog})}$

Валентин Кабанець пояснив мені наступний (фольклорний) аргумент із своєї праці з Расселом Імпальяццацо, який пояснює, чому R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) малоймовірний.$\mathsf{RNC} \subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Теорема: Якщо R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) , то або N E X P не можна обчислити булевими схемами розміром o ( 2 n / n ) (тобто субмакс. Шеннон; не має значення, але див. Лупанова щодо герметичності), або Перманент не можна обчислити за арифметичними формулами (без поділу) за Z квазіполіномічного розміру.$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NEXP}$$o(2^n/n)$${\mathbb Z}$

Доведення: припустимо R N C ⊆ N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . Якщо Перманент має формулу квазіполіноміального розміру, то ми можемо відгадати та перевірити таку формулу для Перманентної, використовуючи тестер поліноміального квазіполіноміального часу за припущенням. Це розміщує Постійні в N T I M E ( 2 p o l y l o g ) .$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

За теоремою Тода Σ 2 також знаходиться в N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . За доповнення, лінійна експоненціальне час версія Х 5 також знаходиться в N E X P . Отже, лінійно-експоненціальна версія Σ 5 має схему розміром o ( 2 n / n ) (тобто підмакс). Але, простим аргументом діагоналізації можна показати, що лінійно-експоненціальна версія Σ $\Sigma_2$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\Sigma_5$$\mathsf{NEXP}$$\Sigma_5$$o(2^n/n)$$\Sigma_5$вимагає максимального розміру ланцюга, що є суперечливістю (до речі, це варіант питання середнього рівня для курсу складності випускника; добре, можливо, доведено, що E X P S P A C E вимагає схем максимального розміру простіший). QED.$\mathsf{EXPSPACE}$

Зараз непопулярний напрямок.

Ми вже знаємо, що випадковість, прочитана багато разів, може зробити щось неочевидне. Цікавий приклад можна знайти у « Зробити недетермінізм однозначним » Рейнхардта та Аллендера (вони констатують це з точки зору нерівномірності, але в принципі йдеться про використання випадковості читання в багато разів). Ще один цікавий приклад (менш пов’язаний безпосередньо) - " Випадковість купує глибину для приблизного підрахунку " Емануеле Віоли. Я думаю, все, що я говорю, - я не здивуюсь, якби дерандомізація R N C не була такою, якою більшість людей сподівалися б.$\mathsf{RNC}$

(Є також декілька інших робіт, як, наприклад, чудовий документ Ноама Нісана про випадковість "один раз проти читання - багато", які показують, як придбати двосторонню помилку з односторонньою помилкою.)

До речі, розуміння того, як побудувати PRG, що обманюють просторово обмежені моделі обчислень з декількома доступами до їх вводу (наприклад, лінійна довжина Bps), також дуже пов'язане з цим питанням.

- Перикліс