Точні експоненціальні часові алгоритми для програмування 0-1

10

Чи відомі алгоритми для наступної проблеми, яка перемагає наївний алгоритм?

Вхідні дані : Система з лінійних нерівностей. $Ax \le b$ $m$

Вихід: можливе рішення якщо таке існує. $x^*\in \{0,1 \}^n$

Припустимо, що і мають цілі записи. Мене цікавлять найгірші межі. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Остін Бюкенан
джерело

14

Якщо є надлінійним, такий алгоритм спростує гіпотезу сильного експоненціального часу, оскільки формули у сполучній нормальній формі є особливим випадком програмування 0-1, а лемма розщеплення дозволяє зменшити -SAT до CNF-SAT на лінійно багато пунктів . $m$ $k$

Однак існує алгоритм завдяки Імпальязцо, Патурі та мені, який може вирішити таку систему нерівностей, якщо число проводів, тобто кількість ненульових коефіцієнтів в , лінійне. Зокрема, якщо кількість проводів , алгоритм працює в часі , де $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Стефан Шнайдер
джерело

1

Якщо досить малий, ви можете зробити краще, ніж наївний алгоритм, тобто краще, ніж у рази. Тут "досить малий" означає, що менше, ніж щось на зразок . Час роботи все ще буде експоненціальним - наприклад, це може бути рази - але це буде швидше, ніж алгоритм наївності. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

Між іншим, схоже, що це дозволяє нам вирішити задачу швидше, ніж за у деяких випадках, коли матриця має надлінійну кількість записів. Я не знаю, як це визначити за допомогою іншої відповіді, наданої тут. Отже, ви повинні уважно перевірити мою відповідь: це може означати, що я десь зробив серйозну помилку. $2^n$ $A$

Основний підхід: запишіть , де містить перші компоненти і містить останні компоненти; і аналогічно , де має лівий стовпців і правий $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ стовпчики. Тепер можна переписати у форму $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

або рівнозначно,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

Перерахуємо всі можливості для , і нехай позначає набір можливих значень, тобто $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Аналогічно перерахуйте множину усіх можливостей для , тобто $T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Тепер проблема стає

Враховуючи множини розміром , чи існують і такі, що ? $S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

(Тут взято по точці, тобто нам потрібно, щоб для всіх .) $\le$ $s_i \le t_i$ $i$

Остання проблема обговорюється на CS.StackExchange , і, мабуть, існує алгоритм для неї, який працює в часі . Якщо досить малий (скажімо, менший ), то з цього випливає, що загальний час роботи буде менше , як бажано. $O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
джерело

1

Алгоритм з моєї відповіді також зводиться до векторної проблеми, описаної у вашій відповіді, використовуючи той самий метод, тобто розділити змінні та перерахувати всі їх призначення.

— Стефан Шнайдер

2

2^{O (m)}

$2^{O(m)}$