Мотивація оцінки обсягу

12

Які конкретні та переконливі додатки для оцінки обсягу опуклих багатогранників такого типу розглядаються в останніх роботах про випадкові методи прогулянки?

У цих роботах з оцінки обсягу є однією з мотивацій числова інтеграція. Які приклади інтегралів, які люди хочуть обчислити на практиці, які важко обчислити, використовуючи попередні методи? Або є якесь інше переконливе практичне застосування для обчислення обсягу 1000-мірного багатогранника?

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains

Цікаво, чи отримаєте ви більше відповідей того типу, який ви шукаєте на physics.stackexchange.com ... Також для тих, хто нам не знайомий з цією підрегіоною теорії, ви можете, можливо, включити деякі посилання на "новіші статті про методи випадкових прогулянок"?

— Джошуа Грохов

більше роздумуючи над цим після відповіді та поштовху навколо. деякі матеріали, схоже, вказують або йдуть у напрямку, що обчислення обсягу політопа - це щось на зразок фундаментальної проблеми в теорії складності. це не дивно, враховуючи, що обчислення детермінанта є ще однією ключовою проблемою в теорії складності, а визначником є об'єм паралелепіпеда. тому здається, що одна розумна відповідь полягає в тому, що в теорії складності здаються глибокими або природними зв'язками. більше доказів цього може бути прив’язка до якогось конкретного класу складності .... можливо, на цьому ще більше

— копатись

див. також математичний потік, алгоритм пошуку обсягу складного багатогранника . так, це питання вище задає додатки, а не алгоритми, але деякі алгоритми надають мотивації / програми.

— vzn

7

Оцінка обсягу опуклого багатогранника і тісно пов'язане з ним завдання відбору з нього мають додатки у приватному звільненні даних.

Приблизно проблема, яку ви хочете вирішити, полягає в тому, що: отримавши колекцію запитів із числовим значенням у базі даних, придумайте відповіді на ті запитання, які максимально наближені до реальних відповідей, задовольняючи при цьому різницю конфіденційності. У деякому діапазоні параметрів оптимальний алгоритм вирішення цієї задачі має геометричний опис, а реалізація передбачає вибірку з опуклого багатогранника. Дивіться тут: http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

— Аарон Рот
джерело

4

Поліедри широко використовуються в програмному аналізі як засіб подання (надмірного проксимації) набору всіх можливих станів, коли стан записує значення кожної змінної в програмі. Якщо існує набір інваріантів програмних змінних, кожна з яких може бути представлена як лінійна нерівність змінних, то суміщення всіх цих інваріантів дає багатогранник. Якщо - можливий стан програми, то знаходитиметься у внутрішній частині багатогранника (але не обов'язково зворотного). $s$ $s$

У галузі комп’ютерної безпеки робота над кількісним потоком інформації застосовує ці методи для оцінки кількості конфіденційної інформації, яка може просочитися певною програмою. Тут ми будуємо багатогранник, що представляє можливі стани програми в певний момент її виконання, а потім ми хочемо щось оцінити щодо кількості можливих станів (це пов’язано з кількістю випущеної інформації). Таким чином, у певний момент аналізу вони в кінцевому підсумку намагаються підрахувати кількість цілих точок, що містяться всередині багатогранника. Це запахи, пов'язані з оцінкою обсягу (для мене).

Ось ранній документ, який є репрезентативним:

Автоматичне виявлення та кількісна оцінка витоків інформації . Майкл Бекес, Борис Копф, Андрій Рибальченко. Безпека та конфіденційність IEEE 2009.

Однак це може бути не саме тим, що ви шукаєте. Він вимагає методів підрахунку кількості цілих точок всередині багатогранника, що не збігається з об'ємом багатогранника. Крім того, я не думаю, що їм потрібно аналізувати багатогранники розміром 1000 або вище (хоча я не впевнений у цьому).

— DW
джерело

Дякую. Проблема пошуку кількості цілих розв’язків для набору лінійних нерівностей є # P-завершеною, я думаю ( math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf теж є кілька додатків). Тоді як оцінка обсягу може бути виконана за багато разів. Очевидно, ви можете використовувати останнє для наближення першого, але я дійсно шукаю прямих конкретних застосувань оцінки обсягу.

Обчислення обсягу політопа також є # P-важким. Сам по собі цей факт мало говорить про наближення.

— Сашо Ніколов

@SashoNikolov Наближення обсягу Я вважаю, що неможливо детерміновано в моделі oracle, хоча можливо в рандомізованому сенсі. Чи не доводить це і якщо ні, то чи існує яка-небудь пов’язана з фундаментальною проблемою дерандомізація, відкрита в обчисленні?

P \neq B P P

$P\neq BPP$

— Т ....

1

@Turbo Очевидно, це не доводить, що P не дорівнює BPP, оскільки ці два класи не стосуються моделі oracle. Я вважаю, що детерміновано наближення об'єму багатогранника, представленого нерівностями, є відкритим.

— Ніколов

@SashoNikolov Якщо ви знаєте цю, здавалося б, просту проблему, було б добре mathoverflow.net/questions/336369/… .

— Т ....

4

Харі Нараянан опублікував статтю на arXiv, в якій він використовує оцінку обсягу опуклого багатогранника, щоб довести певні результати щодо коефіцієнтів Літлвуд-Річардсона (LR). Коефіцієнти LR - це певні цілі числа в теорії представлення, які мають застосування в теорії геометричної складності, фізиці частинок та багатьох інших областях (див. Вступ у вищенаведеній роботі для отримання додаткових посилань). Знову, напевно, не зовсім те, що ви хотіли, але все ж цікавий зв’язок.

— Джошуа Грохов
джерело

3

див., наприклад: Оцінка об'ємних об'ємів опуклих тіл: алгоритми та застосування Шарма, Прасанна, Асваль для прикладу / дослідження з питань економічного прогнозування, тобто управління ланцюгами поставок.

Наші методи можуть бути використані для кількісного визначення змісту інформації та невизначеності, у обмежених регіонах, у надійній оптимізаційній системі. Ми показуємо застосування в управлінні ланцюгами поставок в умовах майбутньої невизначеності.

в основному ідея полягає в тому, що політоп може моделювати "майбутній сценарій" параметрів конфігурації управління ланцюгом поставок. невизначеність (або «помилка») в моделі оцінки / береться пропорційно обсягу багатогранника (S). див. слайди 3,4. це дозволяє:

кількісна оцінка невизначеності
генерація еквівалентної інформації
допомога в аналізі що-якщо

— взн
джерело

Дякую. Ці приклади є приємними, але мені все ще важко повірити, що саме вони мають на увазі, коли люди кажуть, що оцінка об'єму високовимірного опуклого тіла є одним із найважливіших застосувань методу Ланцюга Маркова Монте-Карло.

погодився, що приклад на слайдах - "розмір іграшки", що стосується # розмірів, але, можливо, деякі проблеми управління ланцюгом постачання мають великі розміри на практиці. також цей напрямок досліджень, здається, підказує мені, що він може мати певне застосування в деяких формах обміну даними.

— vzn

2

ось ще один кут виявився під час якогось онлайн-розслідування. Беркофф багатогранник має багато глибоких теоретичних властивостей і відноситься до , наприклад , удосконалювати паросполучення на графіках, але обсяг розрахунки по ним дуже важко навіть для низького , наприклад , як в цьому дослідженні Бека і Pixton . більш прямий / чудовий TCS-зв'язок виникає в тому, що відносно недавній документ пропонує міру складності графіка на основі обчислень на політопі Біркофа. $B_n$ $n$

Політопи Birkhoff , теплові ядра та складність графіка Франсіско Есколано, Едвін Р. Хенкок, Мігель А. Лозано, 2008

— взн
джерело