Випадкові функції низького ступеня як справжній многочлен

Чи існує (розумний) спосіб вибірки рівномірно випадкової булевої функції , ступінь якої як справжній многочлен становить максимум ? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

EDIT: Нісан і Сегеді показали, що функція ступеня залежить від максимум координат, тому можна вважати, що . Як я бачу, такі проблеми: 1) З одного боку, якщо ми виберемо випадкову булеву функцію на координатах , то її ступінь буде близькою до , набагато вище . 2) З іншого боку, якщо ми обираємо кожен коефіцієнт ступеня не більше випадково, то функція не буде булевою. $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

Отже, питання полягає в тому, чи існує спосіб вибірки булевої функції низького ступеня, що дозволяє уникнути цих двох проблем?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Ігор Шинкар
джерело

Ви хочете , фактична функція буде обмеженням речового многочлена ступеня до 0-1 входів, або ви хочете, щоб це було , що тоді і тільки тоді для деякого матеріального многочлена від ступінь не більше ? Або щось інше?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow Я хочу функцію, розширення Фур'є якої має ступінь . Це ваш перший варіант.

d

$d$

— Ігор Шинкар

Яка ваша модель? Запис вибіркової функції займає час, або якщо ви хочете вивести розширення Фур'є. Чи є фіксованою постійною?

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— MCH

Я додав ще кілька деталей у запитання.

— Ігор Шинкар

@MCH Якщо функція, якщо ступінь (з нульовою вагою вище рівня ), вона не може залежати від більш ніж координат. Це результат завдяки Нісану та Сегеді. Подумайте про особливий випадок . У цьому випадку ми знаємо, що функція залежить від (максимум) 1 координати.

d

$d$

d

$d$

d 2^{d}

$d2^d$

d = 1

$d=1$

— Ігор Шинкар

Ось алгоритм, який б’є тривіальні спроби.

Наступний відомий факт (вправа 1.12 у книзі О'Доннелла): Якщо - булева функція, яка має ступінь як поліном, тоді кожен коефіцієнт Фур'є , - ціле число, кратне . За допомогою Коші-Шварца та Парсевала виходить, що існує не більше ненульових коефіцієнтів Фур'є та . $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ $\le d$ $f$ $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$

Це пропонує метод вибірки -

Виберіть випадковий невід'ємні цілі числа для всіх множин розміру не більше , сума яких до . $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
Нехай . $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$
Перевірте, що булеве. Якщо так, поверніть . Інше, поверніться до . $f$ $f$ $1$

Зауважимо, що для кожного ступеня многочлена точно один вибір випадкових цілих чисел на етапі 1 генерує поліном . Імовірність отримання певного многочлена ступеня дорівнює Отже, нам потрібно повторити цей процес максимум разів, сподіваючись, перед тим, як зупинити. $\le d$ $f$ $f$ $\le d$

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

Залишилося показати, як виконати крок 3. Можна визначити . Перевірте, що (який слід проводити з допомогою нісан-Szegedy для кожної булевої функції) , а потім оцінити на всі можливі присвоєння змінних в . Це можна зробити в часі . Гур і Тамуз пропонують набагато швидший рандомізований алгоритм для виконання цього завдання, однак, оскільки ця частина не домінує у часовій складності, цього достатньо. $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

В цілому алгоритм виробляє випадкову вибірку многочлена градуса у часі . За припущенням, що часова складність дорівнює . $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

Це не алгоритм відбору поліноміального часу, хоча він набагато швидший, ніж вибіркове цілком випадкова функція (у цьому випадку ймовірність отримання певного ступеня полінома дорівнює ). $\le d$ $1/2^{2^n}$

— Авішай Тал
джерело

Приємно! Насправді це дає алгоритм, який whp (wrt ) видає максимально можливу кількість координат, від яких може залежати функція низького ступеня. Просто візьміть щоб бути досить великим, вибірку багатьох функцій, і для кожної функції підраховуйте кількість впливових координат. Виведіть максимум, який ви бачите.

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— Ігор Шинкар