Твердість галасливих булевих функцій

Нехай - булева функція n булевих змінних. Нехай g ( x ) = T ϵ ( f ) ( x ) - очікуване значення f ( y ), коли y отримано від x шляхом перегортання кожної координати з ймовірністю ϵ / 2 .$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

Мене цікавлять випадки, коли обчислювально важко наблизити . Дозвольте мені зафіксувати поняття "наближення" (але можуть бути й інші): Булева функція h наближає g, якщо h ( x ) = 1, коли g ( x ) ≥ 0,9 і h ( x ) = 0, коли g ( x ) ≤ $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$. Аргумент підрахунку (заснований на наявності кодів, що виправляють помилки позитивної швидкості), здається, дає існування булевих функцій, для яких будь-яке таке наближення вимагає схеми розміру експоненціальної величини. Але питання в тому, що трапляється, коли для початку - в NP або в його околицях.$f$

Q1: Чи є приклад описаний ланцюгом NP (або P-простір), щоб кожен h був NP важким, або важким у слабшому сенсі.$f$$h$

Для того, щоб бачити , що не завжди може бути легко (я дякую Джоен Хастад за корисне обговорення про нього) можна розглядати властивість графів , що має кліку розміру п 1 / 4 , для випадкового введення, можна припустити , що це важко Визначте, чи є велика кліка, але це проявляється тим, що на графіку галасливих графіків розміщено більше кліків, ніж очікувалося. У цьому випадку будь-який h буде ймовірно важким (але не доказовим і не дуже жорстким, як говорять квазіполіномові схеми).$h$$n^{1/4}$$h$

Q2: Яка ситуація, якщо почати з низької складності. ( A C 0 , монотонна T C 0 , A C C тощо)$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3: Яка ситуація для деяких основних прикладів булевих функцій. (Питання можна поширити і на реальну функцію.)

Q4: Чи можна задати вищезазначене питання формально для єдиної моделі (машина Тьюрінга) обчислення?

Оновлення: З огляду на відповідь Енді (Привіт, Енді), я думаю, що найцікавіше питання - зрозуміти ситуацію для різних конкретних функцій.

Оновіть ще одне запитання Q5 [Q1 для монотонних функцій] (також з огляду на відповідь Енді). Яка ситуація, якщо одноманітна? Чи можемо ми все-таки чітко кодувати NP-питання?$f$

На запитання 1 відповідь - так, і його можна показати наступним чином. (Я також буду неявно замальовувати ствердну відповідь на Q4, оскільки аргумент є рівномірним і розглядатиме всі вхідні довжини одразу.)

$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

$L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$$h$

Дві ноти:

(1) кодування, що виправляють помилки, були використані раніше в декількох статтях, зокрема
D. Sivakumar: Про членські порівнянні набори. J. Comput. Сист. Наук. 59 (2): 270-280 (1999).

(2) наведений вище аргумент, звичайно, нічого не говорить про середню складність випадку будь-якої проблеми NP, оскільки виправлення помилок застосовується в кожному конкретному випадку.