Геометрична інтерпретація обчислень

Будучи фізикою, я був навчений розглядати безліч проблем з геометричної точки зору. Наприклад, диференціальна геометрія багатоніжників у динамічних системах тощо. Коли я читаю основи інформатики, я завжди намагаюся знайти геометричні інтерпретації. Як і правдоподібна геометрична інтерпретація рекурсивно перелічених множин (я працював над частиною, де я намагався з'єднати їх з алгебраїчною геометрією, використовуючи еквівалентність з наборами Діофантіна, але зв'язок здавався вимушеним, і я не міг знайти "природне" вираження фактів у тому, формулювання) або прекрасний геометричний результат для простого алгоритму сортування чисел. Хоча я не фахівець, я читав опитування з теорії геометричної складності, і це, безумовно, цікава програма, але мені більше цікаво мати геометричний вигляд надзвичайно фундаментальних понять, таких як динаміка машини Тьюрінга, обчислення Лямбди або структура ( un) обчислювальні набори (а не конкретні проблеми). Чи безперспективно знайти геометричну структуру в цих об'єктах чи можна очікувати якихось хитромудрих результатів? Чи є рецептура ТКС, яка розглядає її геометрично?

Семантику комп'ютерних програм можна зрозуміти геометрично трьома різними (і, мабуть, несумісними) способами.

• Найдавніший підхід - за допомогою теорії доменів . Інтуїція, що стоїть за теорією домену, виникає з-за асиметрії, що стоїть за припиненням та невпиненням.

  При поводженні з програмами з експансіонітом (тобто, дивлячись лише на їх поведінку вводу / виводу, а не на їх внутрішню структуру), завжди можна за певний час підтвердити, що програма зупиняється - ви просто чекаєте, поки вона зупиниться. Однак підтвердити, що програма не зупиняється, неможливо , тому що незалежно від того, скільки часу ви будете чекати, завжди є програма зупинки, яка працюватиме ще на кілька кроків, ніж ви чекали.

  Як результат, зупинка і циклічність можна розглядати як формування топологічного простору ( простір Сьєрпіньського ). Це піднімає багатші уявлення про спостереження (через топологію Скотта), і ви можете тим самим інтерпретувати програми як елементи топологічних просторів. Ці простори, як правило, досить дивовижні з традиційної точки зору - домени, як правило, не є Хаусдорфом.

  Найкращий топологічний вступ, який я знаю до цих ідей, - це коротка та надзвичайно доступна топологія Стіва Вікерса за допомогою логіки . Це можна зрозуміти як своєрідну розминку значно більш грізних кам'яних просторів Пітера Джонстона .

  Якщо ви шукаєте конспекти лекцій в Інтернеті, дозвольте запропонувати синтетичну топологію типів даних та класичних просторів Мартіна Ескардо .

• Інша думка випливає з теорії одночасності. Під одночасною програмою можна розуміти кілька дійсних виконання (послідовності станів), залежно від способу вирішення перегонів. Потім набір виконань можна розглядати як пробіл, при цьому кожна можлива послідовність станів розуміється як шлях через цей простір. Потім методи алгебраїчної топології та теорії гомотопії можуть бути застосовані до отримання інваріантів щодо виконання програми.

  Нір Шавіт та Моріс Херліхі використовують цю ідею, щоб довести неможливість певних розподілених алгоритмів, за які вони виграли премію Геделя 2004 року. (Див . Топологічну структуру асинхронних обчислень .) Ерік Гобо має оглядовий документ, в якому пояснює відповідні ідеї в деяких геометричних перспективах теорії паралельності .

• Зовсім недавно було помічено, що структура типу ідентичності в теорії залежного типу дуже тісно відповідає поняттю типу гомотопії в теорії гомотопії - настільки близько, насправді, що теорія залежного типу насправді може розглядатися як якась "синтетична теорія гомотоптистів"! (Володимир Воєводський пожартував, що витратив кілька років на розробку нового обчислення теорії гомотопії, лише щоб виявити, що його колеги з відділу CS вже викладали це студентам.)

  Дивіться посилання Коді вище до книги теорії гомотопії .

Цікаво, що ці три погляди здаються несумісними один з одним або, принаймні, дуже складно узгодити. Теорія залежних типів - це тотальна мова, тому в ній не виникає невиконання (і топологія Скотта). Він також злитий, тому подання обчислень як пробілів також не виникає. Аналогічно, формулювання паралельності з точки зору теорії доменів виявилося люто важким, і цілком задовільний рахунок все ще залишається відкритою проблемою.

Як це просто так відбувається, останнім часом розробили теорію Росії залежних типів , в якій типи, які традиційно являють собою статичний інваріант для комп'ютерної програми, можуть бути інтерпретовані як топологічний простір, а точніше клас еквівалентності таких пробіли ( гомотопічний тип ).

Це було предметом інтенсивних досліджень протягом останніх кількох років, які завершилися книгою .

$\lambda$

Вам відомо про GCT, але ви можете не знати про це попередню роботу Малмулі щодо показу поділу між підмножиною PRAM-обчислень та P, в якій використовуються геометричні уявлення про те, як обчислення можна розглядати як вирізання простору.

Багато нижчих меж проблем у моделі алгебраїчного дерева рішень зводяться до міркувань про топологію базових просторів рішень (номери Бетті відображаються як відповідний параметр).

В одному сенсі ВСЕ оптимізація геометрична: лінійні програми передбачають пошук найнижчої точки багатогранника у великих розмірах, СДП - це лінійні функції над простором напіввизначених матриць тощо. Геометрія широко використовується при проектуванні алгоритмів тут.

У цій темі існує довгий і глибокий зв’язок між нашою здатністю оптимізувати певні функції на графіках та нашою здатністю вбудовувати метричні простори в певні нормовані простори. Зараз це величезна література.

Нарешті, останніми роками існує великий інтерес до так званих механізмів "підйому та проектування" для вирішення проблем оптимізації, і вони активно використовують базову геометрію та піднімають на простори більш високих розмірів: поняття з алгебраїчної геометрії тут важлива роль.

$T_1$ ). Вони в певному сенсі "спрямовані", тож треба було б придумати спрямовану геометрію для обліку явища. І є хитрощі, які симетризують ситуацію (по суті, ви стоїте на голові).

Один із способів зрозуміти взаємозв'язок між обробкою інформації (також відомою як "обчислення") та геометрією - це те, що обробка інформації передує геометрії. Цей погляд повинен бути знайомий з певних частин фізики. Наприклад, в теорії відносності ми вивчаємо як причинну структуру простору часу (її обробку інформації), так і її геометричну структуру . Багато хто вважає останнє більш базовим, ніж перше.

Ці зв'язки були помічені в минулому, і кілька років тому було зроблено зусилля зв'язати інформаційно-теоретичні аспекти інформатики з теорією відносності. Одним із завдань, які люди хотіли вирішити, було: починаючи від структури причинності простору часу (що є лише частковим порядком щодо простору часу), реконструювати топологію простору часу, а можливо, і геометрії. Відновлення топології з часткового порядку - це те, в чому хороша теорія домену, тому був певний успіх.

Список літератури:

• Обчислювальні структури для моделювання простору, часу та причинності , семінар Дагстуль 06341, 20–25 серпня 2006 р.

• Ключ Мартін і Пракаш Панангаден: Геометрія простору і часу від причинної структури та вимірювання

Nielsen та ін. показав, що квантові обчислення мають геометричну інтерпретацію. Зокрема, вони показали, що знаходження короткого квантового ланцюга для виконання цільової одиниці$U$еквівалентний знаходженню короткої геодезичної форми у певній вигнутій геометрії. Детальну інформацію див. У наступних документах: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0603161 та http://arxiv.org/abs/quant-ph/0701004

творчо інтерпретуючи своє запитання, приходять в голову деякі інші можливості, крім GCT. Один із способів полягає у пошуку нерозв'язних проблем (також повноти Тьюрінга), які є досить повсюдними.

• аперіодична Обкладка площини та плитка Пенроуз . доведено, що питання про те, чи існує аперодічна плитка площини, неможливо вирішити.

• Стільникові автомати, які також все частіше показують, що мають глибокі зв’язки з фізикою, багато пов'язаних з цим нерозв'язних проблем, доведено, що ТМ завершено, і вони, природно, інтерпретуються як (і перетворюються між) ТМ обчислювальних таблиць.

• алгоритми як фрактали . більш нерозвиненою (тобто активною / триваючою науковою роботою!) сферою, але різноманітними невирішеними питаннями, такими як складний момент$(x,y)$це в наборі Мандельброта ?

• Нерозбірливість у динамічних системах (Хайнрі), знову-таки іноді тісно пов'язана з фізикою. динамічні системи зазвичай мають багатовимірну геометричну інтерпретацію.

• Візуальні мови програмування . програма може розглядатися як тип (спрямований?) графік з різними типами вершин (наприклад, умовна, арифметична операція) тощо.