Складність обчислення найгустішої мінори

Розглянемо наступну проблему.
Введення: Непрямий графік . Вихід: Графік який є мінором з найвищою щільністю краю серед усіх неповнолітніх , тобто з найбільшим співвідношенням.H G G | E ( H ) | / | V ( H ) $G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

Чи вивчена ця проблема? Це розв'язується в поліномічний час або це NP-важко? Що робити, якщо ми розглядаємо обмежені класи графіків, як класи з виключеними неповнолітніми?

Якщо ми попросимо натомість найгустіший підграф, то проблема вирішиться за полиномний час . Якщо ми додамо додатковий параметр і запитаємо найгустіший підграф з вершинами, проблема є NP-повною (це просте скорочення від -clique).k $k$$k$$k$

Гаразд, оскільки тут все ще немає нічого на шляху відповіді, дозвольте мені принаймні зробити кілька простих спостережень:

Для графіків обмеженої ширини ширини повинно бути можливим знайти найгустіший мінор (або навіть мінор із вказаною кількістю ребер та вершин) за допомогою звичайного роду динамічної програми на декомпозицію дерева, де кожен стан динамічної програми відстежує кількість ребер і вершин у частині неповнолітнього, що живе в піддереві розкладу, підмножина вершин у мішку розкладання, які беруть участь у мінорі, еквівалентність вершин у цій підмножині, викликаних незначними скороченнями в цілому графік та уточнення цього відношення еквівалентності, викликане скороченнями в частині неповнолітнього, що живе в піддереві.

Якщо так, то з цього випливає, що, коли щільність нижче трьох, слід виявити найгустіший мінор за багаточлен (з постійним коефіцієнтом, який залежить від наближеності до три щільності). Бо графіки, найгустіший мінор яких має щільність мають площинні заборонені неповнолітні і тому обмежені шириною ширини.$\le 3-\epsilon$

Я знайшов тісно пов’язану проблему в роботі Bodaender et. ін. . Вони розглядають проблему, яку називають виродженням стиснення, тобто проблемою вирішити для заданого графіка та чи всі неповнолітні є -дегенерованими. Зараз щільність ребра над усіма підграфами графіка та виродження дуже схожі поняття (якщо графік містить підграф середнього ступеня то він також містить підграф мінімального ступеня ), і я думаю, що їх докази можуть бути змінені, щоб показати що проблема пошуку найгустішого мінора також є NP-повною.k ∈ N G k d d /$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

Насправді я цілком задоволений цією роботою, тому що з виродженням набагато приємніше працювати - лише природні числа можуть видаватися як виродження, тоді як середній ступінь по підграфах може бути будь-яким раціональним числом. Також документ пропонує дуже короткий доказ простежуваності з фіксованими параметрами, використовуючи теорію другорядних графів Робертсона та Сеймура. Клас графіків із виродженням стиснення у більшості закритий під час прийняття неповнолітніх, а отже, описується скінченним набором виключених неповнолітніх. Для фіксованого ми маємо алгоритм тестування стримування в класі, який працює за часом .k O ( n 3$k$$k$$O(n^3)$