Направлені NP-важкі проблеми на DAGs

12

Ширина дерева вимірює наближеність графіка до дерева. На графіках із обмеженою шириною дерева можна відстежити декілька проблем, пов'язаних з NP. Якщо проблема залишається непомітною на деревах, то ширина дерева не може нас врятувати. Це було мотивацією одного з моїх попередніх запитань, які задавали NP-важкі проблеми на деревах.

Існує кілька спрямованих версій ширини дерева, які вимірюють, наскільки близький спрямований графік до спрямованого ациклічного графіка (DAG). Які деякі спрямовані проблеми, які залишаються важкими для DAG? Направлена проблема істотно використовує напрямки ребер. Наприклад, гамільтонів шлях - це спрямована проблема, тоді як вершинний покрив - ні. Одна з відповідей на моє попереднє запитання дала загальний рецепт виникнення проблем, які важко виникають на деревах. Чи існує такий рецепт ДАГ?

np-hardness directed-acyclic-graph

— Шива Кінталі
джерело

7

Це спрямовано лише на часткове відповідь на перше запитання:

Які деякі спрямовані проблеми, які залишаються важкими для DAG?

У роботі [1] наведено декілька природних задач щодо спрямованих графіків, які залишаються важкими для DAG. Мотивація статті полягає в тому, щоб знайти «хороший» мір, що нагадує широку ширину для диграфів. Вони стверджують, що недоліком багатьох заходів для фотографів є те, що вони є постійними для DAG, але багато спрямованих аналогів природних проблем залишаються важкими для DAG. Детальніше з цієї теми див. Також [2] та посилання на ці статті.

[1] Роберт Ганіан, Петро Хлінені, Йоахім Кнайс, Олександр Лангер, Ян Обдрашалек, Пітер Россманіт: Про заходи щодо ширини диграфа в параметризованій алгоритміці. IWPEC 2009: 185-197. Повна версія

[2] Роберт Ганіан, Петро Хлінені, Йоахім Кнайс, Даніель Мейстер, Ян Обдрашалек, Пітер Россманіт, Сомнат Сікдар: Чи є якісні заходи щодо ширини диграфа? IPEC 2010, що з'явиться. arXiv

— Серж Гасперс
джерело

6

Відомо, що декілька проблем з маршрутизацією є важкими для NP та навіть важко наближеними до поліноміальних факторів у DAG. Сюди відносяться такі проблеми, як максимальне розмежування країв та зменшення заторів. Дивіться статті Ендрюса, Чужоя, Ханни, Чжан та інших, щоб отримати більше покажчиків.

— Чандра Чекурі
джерело

1

$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$ $G$ $G'$ $E(x,y)$ $\varphi$ $E(x,y)\lor E(y,x)$ $G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

— Регулярність
джерело

Здається, що ця проблема полягає не у використанні напрямків ребер. Я шукаю спрямовані проблеми.

— Шива Кінталі

@Shiva: Чому це не відповідає вашим критеріям спрямованої проблеми?

— Андрас Саламон

@ András: Розмальовка графіка піклується про наявність краю (u, v). Не має значення, чи край спрямований від u до v чи від v до u. З іншого боку, Гамільтоновий Шлях використовує напрямки ребер. Можна змінити напрямки деяких ребер і перетворити екземпляр YES в екземпляр NO.

— Шива Кінталі

@Shiva: Отже, ви хочете властивість, яка виражається формулою, яка не є симетричною (інваріантна при перестановці змінних)?

— Андрас Саламон

@ András: Саме так.

— Шива Кінталі

1

Знаменита проблема OPEN [8] зі списку Гарі та Джонсона виходить за рамки P, але вона може бути доведена як NP-C. Ця проблема є в DAG. Кожен раунд ви можете видалити не більше трьох вершин, які не мають вхідного краю. Вирішіть, чи можна видалити всі вершини DAG за K раунди? ВІДКРИТИ з 1970-х.

— Пен Чжан
джерело