Швидкий розріджений булевий матричний продукт з можливою попередньою обробкою

Назвіть найбільш практично ефективні алгоритми множення двох дуже розріджених булевих матриць (скажімо, N = 200 і є лише деякі 100-200 ненульових елементів)?

Насправді, я маю перевагу в тому, що коли я множу A на B, B є заздалегідь визначеними, і я можу робити довільно складну попередню обробку на них. Я також знаю, що результати продуктів завжди такі ж рідкісні, як і оригінальні матриці.

Алгоритм "досить наївного" (сканування A рядками; для кожного 1 біта рядка A АБО результат з відповідним рядком B) виявляється дуже ефективним і вимагає лише декількох тисяч інструкцій CPU для обчислення одного продукту , тож перемогти його буде непросто, а його можна перевершити лише постійним коефіцієнтом (адже в результаті є сотні одного біта). Але я не втрачаю надії і прошу громади про допомогу :)

— jkff
джерело

Я сумніваюся, ми можемо значно перемогти константу в 10 машинних інструкцій за кожне слово виводу. Чи можливо, якась неявна форма результату була б прийнятною?

— Воррен Шуді

Так до тих пір, поки його можна помножити на Bs далі.

— jkff

На яких операціях додавання та множення (для бітів) визначено множення матриць? Ваш наївний алгоритм пропонує відповідь відповідно "або" і "і", але це досить дивне множення матриць, оскільки ті не визначають поле. Ви маєте на увазі "xor" замість "або"?

— Воррен Шуді

Ні, я маю на увазі "або" і "і". Мені не потрібні операції для визначення поля, це насправді проблема, схожа на доступність графіків (я обчислюю склад декількох функцій один на багато).

— jkff

Відповіді:

Я неохоче відповідав на це, тому що єдиний теоретичний результат, про який я знаю в цих рядах, має своє ім'я на папері ...

$n \times n$ $A$ $A$ $n$

(Примітка: цей алгоритм дійсно корисний лише у випадку, коли одна матриця є щільною, а інша - рідкою. Цей випадок виникає багато, хоча, наприклад, при обчисленні транзитивного закриття розрідженого графіка перехідна матриця закриття з часом стає щільною порівняно з вихідною матрицею суміжності.)

Папір є

Гай Е. Блеллох, Вірджинія Василевська, Райан Вільямс: новий комбінаторний підхід до проблем з обмеженими графіками. ICALP (1) 2008: 108-120

$\varepsilon > 0$ $O(n^{2+\varepsilon})$ $n \times n$ $A$

$v$ $t$ $A v$ $O(n(t/k + n/\ell)/\log n)$ $\ell$ $k$ ${\ell \choose k} \leq n^{\varepsilon}$ $\ell=\log^c n$ $k=\varepsilon(\log n)/\log \log n$ $nt/\log n + n^2/\log^c n$ $c$

- Оновлення рядків та стовпців до можна обчислити за час . $A$ $O(n^{1+\varepsilon})$

Ми використовували цю структуру даних, щоб дати швидші теоретичні алгоритми для APSP в розріджених невагомих графіках.

— Райан Вільямс
джерело

Я щойно помітив, що ви також припускаєте, що вихід множення матриці також є рідким. У цьому випадку існують ще швидші алгоритми; здійснити пошук в Інтернеті для "матричного множення з урахуванням вихідних даних".

— Райан Вільямс

Райан Вільямс - у мене швидке запитання: чи знаєте ви, чи ви вивчали будь-який метод, який узагальнює розрізнені -значні матриці (а не просто булеві)?

{- 1, 0, 1}

$\{-1, 0, 1\}$

— Олександр Кассань

Я думаю, що ви називаєте матрицю "гіперспарш" (nnz <n). Я написав документ кілька років тому, як їх розмножувати. По суті, це об'єднання зовнішнього продукту з розумним багатостороннім злиттям, щоб усунути реалізацію проміжних потрій.

Buluc and Gilbert, IPDPS 2008: http://gauss.cs.ucsb.edu/publication/hypersparse-ipdps08.pdf

— Айдін Булук
джерело