Булева функція, яка не є постійною на афінних підпросторах досить великого розміру

Мене цікавить явна булева функція із таким властивістю: якщо є постійним на деякому афінному підпросторі , то розмірність цього підпростори дорівнює . $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$ $f$ $\\{0,1\\}^n$ $o(n)$

Не важко показати, що симетрична функція не задовольняє цій властивості, розглядаючи підпростір . Будь-який має рівно 's, отже, є постійним підпростором розмірності . $A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$ $x \in A$ $n/2$ $1$ $f$ $A$ $n/2$

Перехресний пост: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

— Куліков Олександр Сергійович
джерело

Чи має бути діапазон f {0,1} замість {0,1} ^ n? Інакше я вважаю, що відповідь тривіальна (f може бути відображенням ідентичності).

— Tsuyoshi Ito

О, пробачте, діапазон - {0,1}, звичайно. Виправлено.

— Олександр Сергійович Куліков

Оскільки ви вимагаєте чіткої побудови, я припускаю, що ймовірнісний метод дає екзистенціальний доказ. Дика здогадка: Що станеться, якщо ми ототожнюємо {0,1} ^ n з кінцевим полем порядку 2 ^ n і нехай f (x) = 1, якщо і тільки тоді, коли x відповідає квадрату в кінцевому полі? Набір квадратичних залишків modudo a prime часто виглядає випадковим, і тепер нам потрібен набір векторів, який виглядає випадковим чином, тому використання набору квадратів у кінцевому полі звучить як природний кандидат. (Я взагалі не працював над цим, і це може бути далеко від позначки.)

— Цуйосі Іто

Хрест розміщено в МО . Будь ласка, додайте посилання на своє запитання, коли ви перехресне повідомлення.

— Каве

Також зауважте, що одночасне перехресне постування не перешкоджає .

— Tsuyoshi Ito

Відповіді:

Об'єкти, які ви шукаєте, називаються безсеменними афінними розсіювачами з одним вихідним бітом. Більш загально, диспергатор без насіння з одним вихідним бітом для сімейства підмножини - це функція такий, що для будь-якого підмножини функція не є постійною. Тут вас цікавить сім'я афінних підпросторів $\mathcal{F}$ $\{0,1\}^n$ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $S \in \mathcal{F}$ $f$ $\mathcal{F}$

Бен-Сассон та Коппарті в "Affine Dispersers from Subpace Polynomials" явно будують безсеменові афінні диспергатори для підпросторів розміром щонайменше . Повна інформація про розсіювач трохи надто складна для опису тут. $6n^{4/5}$

Більш простий випадок, який також розглядається в роботі, - це коли ми хочемо афінний диспергатор для підпросторів розмірності . Тоді їх конструкція переглядає як і визначає, що диспергатором буде , де позначає карту слідів: . Ключовою властивістю карти сліду є те, що . $2n/5+10$ ${\mathbb{F}}_2^n$ ${\mathbb{F}}_{2^n}$ $f(x) = Tr(x^7)$ $Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$ $Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

— арнаб
джерело

Велике спасибі, Арнабе! Здається, що це саме те, що мені потрібно, але очевидно, що мені потрібен час, щоб пройти газету. =)

— Куліков Олександр Сергійович

Відеозапис розмови Свастіка на папері знаходиться тут: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— arnab

Ще раз дякую, Арнабе! Я сподіваюся, що відео допоможе мені зрозуміти цей документ (прочитавши перші кілька сторінок, я бачу, що це досить складно).

— Олександр Сергійович Куліков

Функція, яка задовольняє щось подібне до (але набагато слабшого, ніж), що ви хочете, - це визначальна матриця над . Можна показати, що визначник матриці є незмінним для будь-якого афінного підпростору розмірності принаймні . $\mathbb{F}_2$ $n\times n$ $n^2 - n$

— Рампрасад
джерело

Спасибі, Рампрасад! Це дійсно набагато слабкіше, ніж я хочу. Але все-таки ви можете, будь ласка, надати посилання?

— Олександр Сергійович Куліков

Я не знаю місця, де це написано, але доказ не важкий. Щоб довести вищезгадану твердження, досить показати, що якщо взяти визначник матриці

зі змінними в кожному записі, то поліном є ненульовим модулем

лінійними функціями. Зауважте, що перехід за модулем лінійна функція - це просто замінити одну з записів лінійною функцією інших vars. Отже, ми хочемо показати, що заміна лише

записів не може знищити визначник. Слід легко зрозуміти, що за допомогою перестановок ми можемо перемістити всі ці

записи вище діагоналі. [cntd]

n \times n

$n\times n$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

— Рампрасад

Після того, як всі ці записи зміщені вище діагоналі, звичайно, випадок, коли визначник все ще залишається не нульовим (оскільки всі записи нижче, включаючи діагональ, є незалежними, ми можемо зробити нижню діагональ повністю нульовою, а діагональ - ненульові елементи, щоб дати ненульовий визначник). Єдина хитрість тут полягає в тому, що всі записи

можна змістити вище діагоналі.

n - 1

$n-1$

— Рампрасад

Дякую, Рампрасад! Це дійсно не важко помітити.

— Олександр Сергійович Куліков