Точна складність проблеми в

9

Дозволяє $x_i \in \{-1,0,+1\}$ для $i \in \{1,\ldots,n\}$ , з обіцянкою, що $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (де сума закінчена $\mathbb{Z}$ ). Тоді яка складність визначення, якщо $x = 1$ ?

Зауважте, що тривіально проблема полягає в цьому $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ тому що $x \equiv 1\bmod{m}$ iff . Питання: чи проблема у ? Якщо так, то яка схема це свідчить? Якщо ні, то як це довести? $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— SamiD
джерело

Ця проблема може бути тривіальною, але я не знаю відповіді і дуже зацікавлений у її знанні.

— СаміД

7

Можна використовувати звичайний аргумент лемми комутації. Ви не пояснили, як ви представляєте свій вхід у двійковій формі, але при будь-якому розумному кодуванні функція AC еквівалентна вашій функції: (Ми припускаємо, що є парним.) Виходячи з цих конспектів лекцій , припустимо, що можна обчислити за допомогою схеми глибини розміром . Тоді випадкове обмеження входів залишає функцію складності дерева рішень максимум $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ з вірогідністю не менше . Розрахунок, ймовірно, покаже, що це ще один екземпляр (на менший розмір входу) з ймовірністю , і тому існує деяке випадкове обмеження, яке дає як екземпляр на входи та функція з постійною складністю дерева рішень, що призводить до суперечності. Цей же аргумент повинен дати експоненціальні нижні межі.

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Юваль Фільм
джерело

Я думаю, що загальна чутливість цієї функції також буде , тому ви, ймовірно, могли використовувати це для отримання нижньої межі експоненції у моїй відповіді. В результаті, який я цитую, використовується теорема Лініяла-Мансура-Нісана, яка сама використовує комутаційну лему + прості межі для спектра функцій дерева низької складності.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Сашо Ніколов

7

Я не думаю, що це в AC0, і я можу показати нижню межу для відповідної проблеми обіцянки розмежувати і , коли . Подібні методи Фур'є повинні застосовуватися до вашої проблеми, але я цього не підтвердив. А може, є просте скорочення. $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Припустимо, існує схема діапазону глибина яка обчислює функцію така, що кожного разу . Тому що для випадкового ймовірність того, що дорівнює , і для кожного такого існує координати, що змінюють значення , загальний вплив дорівнює $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ , що приблизно відповідає більшості (тому що ви включили більшість чутливих даних більшості). З теореми Хастада (див. Colorraly 2.5 в примітках Райана О'Доннеля ) це означає, що

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— Сашо Ніколов
джерело