Булеві функції, де чутливість дорівнює чутливості блоків

Деяка робота над чутливістю та чутливістю до блоку була спрямована на вивчення функцій з якомога більшим зазором між $s(f)$ та $bs(f)$ , щоб вирішити гіпотезу, що $bs(f)$ тільки поліноміально більша ніж $s(f)$ . А як щодо протилежного напрямку? Що відомо про функції, де $s(f) = bs(f)$ ?

Тривіально постійні функції мають $0=s(f)=bs(f)$ . Також тривіально будь-яка функція з $s(f) = n$ також має $s(f) = bs(f)$ . Нетривіально, але не надто складно показати, що будь-яка монотонна функція також задовольняє цю рівність. Чи є інші приємні класи функцій, які мають $s(f) = bs(f)$? Повна характеристика була б ідеальною. Що робити, якщо ми додатково посилимо вимоги до $s^0(f) = bs^0(f)$ та $s^1(f) = bs^1(f)$ ?

Мотивацією цього питання є просто зрозуміти, як чутливість стосується блокової чутливості.

Визначення

Нехай $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ булева функція на $n$ бітових словах. Для $x \in \{0,1\}^n$ і ⊆ { 0 , 1 , ... , п } , нехай х позначимо через п -розрядним слово , отримане від х , перевертаючи біти , встановлені А . У випадку, якщо A = {$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$ , ми просто позначимо це як$x^i$ .

Ми визначаємо чутливість $f$ при $x$ як $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . Іншими словами, саме кількість біт у $x$ ми можемо перевернути, щоб перевернути вихід $f$ . Визначимо чутливість з $f$ в якості $s(f) = \text{max}_x s(f,x)$.

Визначимо чутливість блоку з $f$ по $x$ (що позначається $bs(f,x)$ ) в якості максимального $k$ таким чином, що існують непересічні підмножини $B_1, B_2, \ldots, B_k$ з $\{1,2,\ldots, n\}$ такі , що $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ . Визначимо чутливість блоку з$f$ як$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ .

Нарешті, ми визначаємо 0 чутливість по $f$ як $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$ . Ми аналогічно визначаємо 1-чутливість , 0-блокову чутливість і 1-блокову чутливість , позначаємо $s^1(f)$ , $bs^0(f)$ і $bs^1(f)$ відповідно.

Recently, I proved that s(f) = bs(f) for unate functions and read-once functions over the Boolean operators AND, OR and EXOR, and my paper including the results was accepted to TCS 2014. (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44602-7_9)

You may be attacking this problem. If so, I feel sorry, but I started to attack the problem independently before the question was posted. A preliminary version of my paper was presented at a Japanese domestic meeting in Dec/2013 and the submission deadline was Oct/2013. (http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/)