Складність згортки в кільці max / plus

Ми можемо зробити згортання в для плюс / множення поліномів з FFT. Однак підхід не здається загальним для дзвінків загалом. Чи відбувся якийсь прогрес у відношенні наївної згортання для кільця max / plus?$O(n\log n)$$O(n^2)$

Слід зазначити, що можна перетворити soft-max / plus у плюс / продукт, роблячи експоненцію. Тут .$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Існує більш загальне питання щодо mathoverflow .

Я задав таке запитання про CS.SE . jbapple дав хорошу відповідь. Цитувати

"Кольє, згортки та X + Y", Bremner et al. показує алгоритм для цієї проблеми на реальній ОЗУ та алгоритм в нерівномірній моделі лінійного рішення рішень.O(n$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$$O(n \sqrt{n})$

Будь-яке вдосконалення цієї межі прожене світло на кілька важких відкритих проблем, таких як сортування та найкоротший шлях пари.$X+Y$

Якщо одна з функцій опукла / увігнута, ми можемо вирішити задачу за час . Див. "Прискорення динамічного програмування", Eppstein et al. .$O(n\log n)$