У якому класі є рандомізовані алгоритми, які помиляються з точно 25% шансом?

Припустимо, я розглядаю наступний варіант BPP, який назвемо E (xact) BPP: Мова є в EBPP, якщо є рандомизований TG поліном, який приймає кожне слово мови з точно 3/4 ймовірністю, і кожне слово не в мова з точно 1/4 ймовірністю. Очевидно, що EBPP міститься в BPP, але вони рівні? Це було вивчено? А як щодо подібного ERP?

Мотивація. Моя основна мотивація полягає в тому, що я хотів дізнатися, що таке теоретичний аналог складності «правильного в очікуваному значенні» рандомізованого алгоритму Фаенза та ін. (див. http://arxiv.org/abs/1105.4127 ) було б. Спершу я хотів зрозуміти, які проблеми з рішенням може вирішити такий алгоритм (з найгіршим випадком виконання часу полінома). Позначимо цей клас через E (xpected) V (alue) PP. Неважко помітити, що USAT $\in$ EVPP. Також легко помітити, що EBPP $\subset$ EVPP. Тож це була моя мотивація. Будь-який відгук про EVPP також вітається.

Насправді, їх алгоритм завжди виводить негативне число. Якщо ми позначимо проблеми рішень, розпізнавані таким алгоритмом EVP (ositive) PP, тоді ми все ще маємо USAT $\in$ EVPPP. Хоча EBPP може не бути підмножиною EVPPP, у нас є ERP $\subset$ EVPPP. Можливо, використовуючи ці, ми можемо визначити (негативний) ранг для вирішення проблем.

Зі сторони, не ясно, що EBPP - це надійний клас. Наприклад, якщо замість того, щоб дозволити алгоритму перевертати неупереджену монету, якби їй дали безсторонню 3-бічну монету або 6-сторонній штамб, не ясно, що ви отримаєте той самий клас. BPP залишається колишнім, якщо ви зміните ці дані.

У будь-якому разі, ваше основне питання - чи рівний показник EBPP BPP чи ні. Мені здається, що EBPP ближче до P, ніж до BPP. Розглянемо складність запиту або версію oracle цих класів, коли вони мають доступ до великої вхідної рядки і повинні робити запити, щоб дізнатися біти цього рядка. Якщо у вас є алгоритм P, що обчислює функцію з Q запитів, то існує точна представляє многочлен ступеня Q для F над R . (Це звичайний аргумент поліноміального методу.) З іншого боку, якщо у вас є алгоритм BPP, то ви отримуєте поліном ступеня Q над R, який наближає $f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$в тому сенсі, що його значення близьке до значення на кожному вході.$f$

Враховуючи алгоритм EBPP для функції , ми можемо побудувати поліном, який виводить 1/4, коли відповідь НІ, і 3/4, коли відповідь ТАК. Віднімаючи 1/2 і множуючи на 2, ви можете отримати точне представлення многочлена, як і у випадку з П. Це говорить про те, що EBPP ближче до P.$f$

Це спостереження також може бути використане для показу розбіжності оракул між EBPP та BPP. Розгляньте проблему більшості з обіцянками, коли вам обіцяють, що вхід має більше 2N / 3 1s або менше N / 3 1s, і ви повинні вирішити, що саме так. Це чітко в BPP. Використовуючи описаний вище поліноміальний аргумент, можна показати, що ця функція вимагає запитів для машини EBPP. Але зауважте, що ви також можете довести розлучення оракул іншим способом, між P та EBPP. То, можливо, результати оракула не говорять багато для цієї проблеми? А може, те, що вони кажуть, що буде важко показати рівність в будь-якому напрямку.$\Omega(N)$

Що стосується розділення оракул, то існує оракул з EBPP = BPP = EXP ^NP , і oracle з P = ⊕P (і, отже, EBPP = P) і BPP = EXP ^NP .

Одна конструкція оракула BPP = EXP ^NP (включаючи таку у статті Вікіпедії BPP ) полягає у виборі повної проблеми відновлення EXP ^NP та рекурсивно, залежно від розміру вводу (для цієї проблеми), виправлення результатів для проблемних примірників такого розміру та то надайте відповіді на цю проблему, якщо запитуєте їх на введення та наповнювач (відповідної довжини), який не було виправлено. Для EBPP = EXP ^NP , замість того, щоб майже завжди давати правильні відповіді, ми можемо дати достатньо неправильних відповідей, щоб зробити підрахунок точно правильним. Існує також оракул, в якому аналог нульової помилки EBPP (рівно 1/2 ймовірності відмови) дорівнює EXP (і оракул з P = ⊕P, але ZPP = EXP).

P = ⊕P і БПП = EXP ^NP оракул відзначається тут .

На додаток до БПП та С ₌ Р, EBPP знаходиться у ⊕P, оскільки ми можемо зменшити ймовірність до кількості свідків, а потім змінити цю кількість.

У нереалізованому світі BPP, ймовірно, дорівнює P, але докази ще сильніші для EBPP. EBPP залежить від точної кількості шляхів таким чином, що, якщо не відбудеться несподіване скасування, виявляється по суті неможливим.

Це часткова відповідь; можливо, це надихне когось іншого на забезпечення кращого. $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

Ваш клас є окремим випадком C = P . Я думаю, що один із способів визначення C = P полягає в наступному (див. Розділ 2 цієї статті ). Мова L знаходиться в C = P, якщо є поліномальний верифікатор часу V такий, що$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• якщо в L , то Pr w [ V ( x , w )  приймає ] = $x$$L$ , і$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• $x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

$\frac{3}{4}$

$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• якщо x в L , то Pr w [ V ( x , w )  приймає ] = $x$$L$$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$, and
• if $x$ is not in $L$, then $\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$.