ЦСП з необмеженою дробовою шириною гіпертрижки

$\acute{\rm a}$$H$$H$$\in PTIME$

Визначення тощо.

Для чудового огляду стандартних декомпозицій дерев і широкої ширини дивіться тут (Дякую заздалегідь, JeffE!).

Нехай - гіперграф.$H$

Тоді для гіперграфа та відображення ,$H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }.$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

Крім того, нехай вага ( ) = .$\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

Тоді дробове розкладання гіпер гіпер - це потрійне , де:( T , ( B t ) t ∈ V ( T ) , ( γ t ) t ∈ V ( T )$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$ - розкладання дерева , і $H$
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$ - це сімейство відображень від до st для кожного . [ 0 , ∞ ) t ∈ V ( T ) , B t ⊆ B ( γ t$E(H)$$[0, \infty)$$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

Тоді ми говоримо ширину від є {вага }.max ( γ t ) , t ∈ V ( T $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

Нарешті, подрібнена шириною гіпердерева з , FHW ( ), є мінімумом ширини по всьому можливому дробовому гіпердереву розкладання .$H$$H$$H$

Питання

Як було сказано вище, якщо дробова ширина гіпертривки основного графіка CSP обмежена постійною, то для вирішення CSP існує алгоритм поліноміального часу. Однак, в кінці зв'язаного документа було залишено відкритою проблемою, чи існують сімейства, які вирішуються в поліномі за часом, з прикладів CSP, що мають необмежену ширину гіпертриви. (Я також хочу зазначити, що це питання повністю вирішене у випадку обмеженої та необмеженої ширини ширини ( цитування ACM ) за умови, що . плюс я відносно не знаю загального стану цього підполя, моє питання:$FPT \ne W[1]$

Чи відомо щось про (не) простежуваність CSP над графами з необмеженою дробовою шириною гіперфрагми?

Ви пов’язали два документи, обидва з домислами. Я припускаю, що ви маєте на увазі вигадку Грохе 2007 року.

На це питання відповіли у 2008 році:

Теорема 5. CSP (C , _) знаходиться в NP, але ні в P, ні в NP (якщо P = NP). Більше того, множину C можна визначити в детермінованому поліномі часі.$_0$$_0$

• Мануель Бодірський та Мартін Грое, недихотомії у складності задоволення обмежень , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70583-3_16 ( PDF )

Ідея полягає у пробиванні отворів у розмірах екземплярів CLIQUE за тією ж технікою затримки діагоналізації, яку запровадив Леднер для своєї теореми. Зауважимо, що множина C містить довільно великі кліки, а дробова ширина гіпертрії кліки дорівнює . Таким чином, можна мати CSP у формі CSP (A, _), які мають проміжну складність, де A має необмежену дробову ширину гіперкреда. Це відповідає гіпотезі Грое негативно. n n /$_0$$n$$n/2$

На тій же конференції у Чен, Терлі та Вейєра були документи з подібним результатом, але це вимагало міцних вкладень, так що технічно не було правильної форми для гіпотези.

• Yijia Chen, Marc Thurley, and Mark Weyer, Розуміння складності ізоморфізмів індукованого підграфа , ICALP 2008. doi: 10.1007 / 978-3-540-70575-8_48 ( PDF )

Нарешті, будь-який клас екземплярів CSP може бути перетворений на представлення з найгіршим випадковим дробовим розміром з гіперполітом. У багатьох випадках це перетворення є поліноміально обмеженим за розмірами і може бути здійснено в поліноміальний час. Це означає, що легко генерувати CSP з необмеженою дробовою шириною гіпертримки, навіть за модулем гомоморфною еквівалентністю. Ці CSP не матимуть форму CSP (A, _), оскільки цільові структури є особливими, але вони є чіткою причиною, чому CSP, визначені обмеженням лише вихідних структур, не все так цікаво: це часто просто занадто просто приховати деревоподібну структуру екземпляра CSP, змінивши представлення, щоб структура джерела мала велику ширину. (Про це йдеться в главі 7 моєї дипломної роботи .)