Наслідки #P = FP

Які були б наслідки #P = FP?

Мене цікавлять як практичні, так і теоретичні наслідки.

З практичної точки зору мене особливо цікавлять наслідки для штучного інтелекту.

Показники до паперів чи книг більш ніж вітаються.

Будь ласка, не кажіть, що #P = FP означає P = NP, я це вже знаю. Крім того, будь ласка, не кажіть "не буде жодних практичних наслідків, якщо алгоритм працює в часі , де - кількість електронів у Всесвіті" $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ : дозвольте мені припустити, що якщо детермінований алгоритм часу полінома для існує проблема # P-завершення, її час роботи буде "клемент" (наприклад, ). $O(n^2)$

— Джорджіо Камерані
джерело

Відповіді:

Ось кілька теоретичних наслідків рівності FP = # P, хоча вони не мають нічого спільного з штучним інтелектом. Припущення FP = # P еквівалентно P = PP , тому дозвольте використовувати останнє позначення.

Якщо P = PP, то маємо P = BQP : квантові обчислення полінома-часу можуть бути змодельовані класичними, детермінованими обчисленнями полінома-часу. Це прямий наслідок BQP⊆PP [ADH97, FR98] (і більш раннього результату BQP⊆P ^PP [BV97]). Крім моїх знань, P = BQP невідомо, що випливає з припущення P = NP. Ця ситуація відрізняється від випадку рандомізованих обчислень ( BPP ): оскільки BPP⊆NP ^NP [Lau83], рівність P = BPP випливає з P = NP.

Іншим наслідком P = PP є те, що модель обчислення Блюма-Шуба-Смале над реалами з раціональними константами в певному сенсі еквівалентна машинам Тьюрінга. Точніше, P = PP означає P = BP (P _ℝ⁰ ); тобто, якщо мова L ⊆ {0,1} ^* розв'язується програмою безперервної безперервної дії над реалами в поліноміальний час, то L визначається машиною Тюрінга в поліномі. (Тут "BP" означає "булева частина" і не має нічого спільного з BPP.) Це випливає з BP (P _ℝ⁰ ) ⊆ CH [ABKM09]. Визначення див. У статті. Важливою проблемою в ВР (P _ℝ⁰ ) є проблема суми квадратного коренята друзі (наприклад, "Враховуючи ціле число k та кінцевий набір цілочисельних координатних точок на площині, чи існує розкидне дерево загальною довжиною не більше k ?") [Tiw92].

Аналогічно другому аргументу, проблема обчислення конкретного біта в x ^y, коли додаткові цілі числа x і y задані у двійковій формі, буде в P, якщо P = PP.

Список літератури

[ABKM09] Ерік Аллендер, Пітер Бюргіссер, Йохан Келлдгаард-Педерсен та Пітер Бро Мільтерсен. Про складність чисельного аналізу. Журнал обчислювальної техніки SIAM , 38 (5): 1987–2006, січень 2009 р. Http://dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97] Леонард М. Адлеман, Джонатан ДеМаррей та Мінг-Де А. А. Хуан. Квантова обчислюваність. Журнал обчислювальної техніки SIAM , 26 (5): 1524–1540, жовтень 1997 р. Http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] Етан Бернштейн та Умеш Вазірані. Квантова теорія складності. Журнал обчислювальної техніки SIAM , 26 (5): 1411–1473, жовтень 1997 р. Http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98] Ленс Фортноу та Джон Роджерс. Обмеження складності в квантових обчисленнях. Журнал комп'ютерних та системних наук , 59 (2): 240–252, жовтень 1999 р. Http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83] Клеменс Лотеманн. BPP та поліноміальна ієрархія часу. Листи з обробки інформації , 17 (4): 215–217, листопад 1983. http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92] Прасун Тіварі. Проблема, яку легше вирішити в одиничній вартості алгебраїчної оперативної пам’яті. Журнал складності , 8 (4): 393–397, грудень 1992. http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— Цуосі Іто
джерело

Ти побив мене до цього! Насправді ви маєте рацію щодо BQP проти NP. Здається, є обґрунтовані докази того, що BQP не міститься в PH (див., Наприклад, arxiv.org/abs/0910.4698 ), хоча я вважаю, що узагальнена лінійно-нісанська конструкція, яка використовується у другому біті, з тих пір виявилася неправильною.

— Joe Fitzsimons

@turkistany: Якщо я не помиляюся, P = NP має на увазі P = BPP, оскільки BPP міститься в PH, а якщо P = NP, то P = PH.

— Ніль де Бодорап

Між іншим: +1 для (FP = # P) ⇔ (P = PP), навіть відклавши решту змісту відповіді.

— Ніль де Бодорап

@Joe: Зважаючи на відповіді на інше питання, я думаю, що найкращі докази "P = NP не означають P = BQP" без фактичного доведення P = NP ≠ BQP, ймовірно, буде результатом поділу оракул: "Існує оракул A такий, що P ^ A = NP ^ A ≠ BQP ^ A ". Звичайно, це зовсім не просто, оскільки такий результат означатиме BQP ^ A⊈PH ^ A, вирішуючи велике відкрите питання.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Ви не можете побудувати такий оракул із будь-якого оракула, щодо якого BQP не міститься у PH, просто взявши його разом із PH для створення нового оракула?

— Joe Fitzsimons

У графічних моделях багато проблем з оцінкою є # P-завершеними, оскільки вони передбачають проведення підрахунків сумарних добутків a la the permanent по відношенню до загальних графіків. Якщо #P = FP, то графічним моделям раптом стає набагато простіше, і нам більше не доведеться гнатися з моделями з низькою шириною ширини.

— Суреш Венкат
джерело

$PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

Чи може хтось уточнити: це не те саме, що сказати "P = PH" (що негайно випливало б з P = NP)?

— Ніль де Бодорап

@Niel: Це не те саме, це сильніше.

— Джорджіо Камерані

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

@All: просто для уточнення --- мій перший коментар вище ставив наступне запитання "Чи відповідь туркистани еквівалентно твердженню, що FP = # P означає P = PH?" Якби я хотів дізнатися, чи FP = # P еквівалентний P = PH, я б попросив це в коментарі до оригіналу публікації, а не у відповіді туркистанина.

— Ніль де Бодорап

@Niel: Ти маєш рацію. Це те саме, що говорити P = PH, що випливає з P = NP. Тому використання теореми Тоди не було необхідним, оскільки FP = #P вже передбачає P = NP = PH.

— Робін Котарі