Чи можемо ми вирішити, чи є в постійній особі унікальний термін?

Припустимо, нам задано n n n матрицю M з цілими записами. Чи можемо ми вирішити в P, чи існує перестановка така, що для всіх перестановок нас є ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Зауваження. Звичайно, можна замінити товар на суму, проблема залишається такою ж.

Якщо матриця може мати лише 0/1 записів, то ми отримуємо задачу Bipartite-UPM, яка є навіть у NC.

Редагувати: Вирішити, чи є найменший термін унікальним, є важким NP, якщо ми дозволимо рандомізоване скорочення. Насправді я спочатку хотів поставити це питання, бо це допомогло б вирішити це . Тепер з'ясувалося, що це NP-завершеність, тож дозвольте мені намалювати скорочення нашої проблеми. Уявіть, що вхід є матрицею нуль-один (ми можемо припустити, що) і замініть нульові записи випадковими дійсними числами між 2 та 2 + 1 / n. Тепер у цій новій матриці з великою часткою ймовірності найменший термін є унікальним тоді і лише тоді, коли оригінальна матриця перетворюється на верхньо-трикутну форму.

Редагувати: Подібні запитання:

Чи є у зваженому на грані графіку цикл Гамільтонів з унікальною вагою?

Якщо у нас є CNF з вагами, присвоєними кожній змінній / задовольняючому призначенню, чи є унікальна вага, що задовольняє завдання?

Звичайно, це щонайменше NP-важко. Ці проблеми еквівалентні оригіналу чи вони складніші?

Приємна проблема! Зробити зменшення не важко, показуючи, що якщо ви зможете вирішити вашу проблему, можна також вирішити наступну проблему, назвіть її ІЗОЛІТОВАНОЮ ПІДСУМКЮ:

Враховуючи цілі числа a ₁ , ..., _n , чи існує підмножина S з _{i i} , сума якої не поділяється на жодне інше підмножина?

Скорочення працює, спочатку зменшивши ІЗОЛІТОВАНУ ПІДПРИЄМНУ СУМУ до ІЗОЛІТОВАНОГО ДОПОВІДНОГО МЕТЧИНУ, де дається зважений двосторонній графік G, ми хочемо знайти ідеальну відповідність, вагу якої не поділяють жодна інша ідеальна відповідність. Таке скорочення є простим: для кожного i створіть 2x2 повний підграф G _i в G, такий, який із двох можливих відповідностей, які ми обираємо для G _i, кодує наш вибір того, чи є _i в множині S.

Далі, зменшіть ІЗОЛІТОВАНЕ ДОПОВІДНЕ ЗВ'ЯЗКУ до вашої проблеми наступним чином:

1. Для всіх i, j, якщо ребро (i, j) існує і має вагу w _ij , тоді встановіть M _ij : = exp (w _ij ). (Це перетворює суми на продукти.)
2. Для всіх i, j, якщо ребра (i, j) не існує, встановіть M _ij : = 0.
3. Pad M, щоб переконатися, що є дві або більше перестановок π такі, що Π M _{i, π (i)} = 0. (Це виключає помилкові рішення, які не відповідають жодному ідеальному збігу в G.)

Тепер ISOLATED SUBSET SUM, безумовно, відчуває, що це хоча б NP-важко, і, можливо, це навіть важче, ніж це (очевидна верхня межа лише Σ ₂ P)! Крім того, можливо, можна довести, що ISOLATED SUBSET SUM є важким NP, використовуючи рандомізоване скорочення у стилі Valian-Vazirani. Це, проте, завдання, яке я залишаю комусь іншому ...