Проблема рішення, яка, як відомо, не є в PH, але буде в P, якщо P = NP

Редагувати : Як правильно вказав у своїй відповіді Раві Боппана, а Скотт Ааронсон також додав ще один приклад у свою відповідь , відповідь на це питання виявився «так» таким чином, якого я зовсім не очікував. Спочатку я подумав, що вони не відповідають на запитання, яке я хотів задати, але, подумавши, ці конструкції відповідають хоча б на одне з питань, які я хотів задати, тобто "Чи є спосіб довести умовний результат" P = NP ⇒ L ∈P 'без доведення безумовного результату L ∈PH? »Дякую, Раві та Скотт!

Чи є проблема рішення L такою, що виконуються наступні умови?

L, як відомо, не знаходиться в ієрархії поліномів.
Відомо, що P = NP буде означати L ∈P.

Штучний приклад такий же хороший, як природний. Крім того, хоча я використовую букву " L ", це може бути проблемою обіцянки замість мови, якщо вона допоможе.

Фон . Якщо ми знаємо, що проблема рішення L знаходиться в ієрархії полінома, то ми знаємо, що “P = NP ⇒ L ∈P.” Метою питання є запитання, чи має місце зворотне. Якщо існує мова L, що відповідає двом вищепереліченим умовам, то це може вважатися доказом того, що зворотне не вдається.

Питання було мотивоване цікавим коментарем Джо Фіцсімонса до моєї відповіді на запитання Вальтера Бішопа « Наслідки #P = FP ».

cc.complexity-theory conditional-results np polynomial-hierarchy

— Цуосі Іто
джерело

Доводити універсальний негатив завжди важко (е), але я був би здивований, якби така мова існувала. Узагальнена лінійно-нісанська думка (якби це закінчилося правдою) не означала б того, про що ви просите, я не вірю. Це просто означало, що BQP не міститься в PH. Якби PH звалився на P, BQP все одно не містився б у P (H).

— Даніель Апон

Ви запитуєте, чи існує клас складності X st X - це не підмножина PH, а P = NP -> X = P?

— Філіп Уайт

@Philip: Так, але я не думаю, що це змінює проблему, оскільки ми зазвичай можемо перетворити задачу L на вирішення класу X до задач вирішення, зведених до L. Принаймні, таким був мій намір задати це питання з точки зору проблем рішення .

— Tsuyoshi Ito

Можливо, ви хочете вимагати, щоб мова

була якось близькою до PH, крім ваших поточних вимог? Можливо, скажімо, в PSPACE (хоча суперечить, наскільки близько PSPACE до PH; див. S. Fenner, S. Homer, M. Schaefer, R. Pruim. Гіперполіномні ієрархії та поліноміальний стрибок. Теоретична інформатика. Том 262 ( 2001), стор 241-256 cse.sc.edu/~fenner/papers/hyp.pdf ). А може, ви справді хочете попросити природну таку мову.

L

$L$

— Джошуа Грохов

@Joshua: Дякую за коментар та довідку. Як зазначено в оновлення (редакція 3), зараз я думаю, що я поставив правильне запитання (всупереч тому, що я додав у редакції 2). Мені хотілося знати, "чи можна довести умовний результат" P = NP ⇒ L∈P ", не доказуючи безумовний результат L∈PH?" є методом доказування, він повинен застосовуватися однаково як до природних, так і до надуманих прикладів.

— Цуйосі Іто

Відповіді:

Оскільки ви не заперечуєте проти штучної мови, як щодо того, щоб визначити порожнім, якщо P дорівнює NP, і бути проблемою зупинки, якщо P не дорівнює NP. Гаразд, це трохи хитрощі, але я думаю, вам доведеться перефразовувати проблему, щоб уникнути таких читів. $L$

— Раві Боппана
джерело

Дякую, я бачу крапку (визначте L = {M: машина Тюрінга M зупиняється і P ≠ NP}). Звичайно, це не відповідає тому, що я хотів задати, але я думаю, що мені доведеться більше думати, щоб сформулювати питання, яке я хотів правильно задати.

— Цуйосі Іто

Якщо штучний приклад дійсно такий же хороший, як природний, то я справді можу навести такий приклад!

$x \in$

$M_1, M_2, ...$ $n$ $M_{t(n)}$ $M_i$ $n$ $x$ $n$ $x \in$ $x$ $n^{t(n)}$ кроки при запуску на порожній стрічці.

$\in$

$M_i$ $t(n) \le i$ $n$

$\ne$ $\notin$

$t(n)$

$\ne$

— Скотт Ааронсон
джерело

Спасибі! Я не зміг модифікувати конструкцію, щоб зробити невідоме до PH, але це достатньо, щоб переконати мене, що додавання умови, що L можна вирішити, з конструктивним підтвердженням рішучості, ймовірно, сильно не змінить ситуацію. Хм.

— Tsuyoshi Ito

Я прийму відповідь Раві Боппана, тому що його вперше приїхали, хоча я хочу прийняти і те й інше, тому що обидва дали мені більше розуміння проблеми. Я сподіваюся, що ви розумієте….

— Цуйосі Іто

Приємно. Це чудова відповідь.

— Даніель Апон

@Tyson Williams: На всякий випадок, якщо ви цього не зрозуміли, будьте дуже обережні, щоб не ввести помилку під час редагування публікації іншими користувачами. Пощастило, що Джо це помітив і виправив.

— Цуйосі Іто

$L$ $P = NP$ $L \in P$ $P \neq NP$ $L \notin PH$

$M_1, M_2, M_3, \dotsc$ $t(n)$ $L$ $\Sigma_{k} SAT$ $k$ $t(n) \to \infty$ $P \neq NP$ $s=(i,j)$ $\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$ $M_i$ $L$ $\Sigma_{j} SAT$ $n_{s}$ $t(n_{s}) > t(n_{s-1})$ $n_{0} = 1$ $n_{s}$ $L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$ $n_{s}$ $L$

$P \neq NP$ $t(n) \to \infty$ $n \to \infty$ $n_{s}$ $L$ $PH$ $P = NP$ $L$ $L$ $P$

— Джошуа Грохов
джерело

n_{s}

$n_s$

n_{s}

$n_s$

s

$s$

1^{n}

$1^n$

n

$n$

n_{s}

$n_s$

s

$s$

s

$s$

1^{n}

$1^n$

t (n)

$t(n)$

t (m)

$t(m)$

m < n

$m < n$

m < n

$m < n$

t (n) = t (m)

$t(n)=t(m)$

n

$n$

n_{s}

$n_s$

s

$s$

L (1^{n}) = 0

$L(1^n) = 0$

s

$s$

n_{s}

$n_s$

t

$t$

L (1^{n})

$L(1^n)$