Чи еквівалентний клас примітивних функцій рекурсії класу функцій, який виявляється, що Фетус припиняється?

Плід, якщо ви про нього не чули, можна прочитати тут . Він використовує систему "матриць викликів" та "графіків викликів", щоб знайти всю "поведінку рекурсії" рекурсивних викликів у функції. Щоб показати, що функція припиняється, це показує, що всі поведінки рекурсії рекурсивних викликів, зроблених до функції, підкоряються певному "лексикографічному впорядкуванню". Його перевірка припинення дозволяє виконувати всі примітивні рекурсивні функції та такі функції, як функція Ackermann. В основному це дозволяє багато аргументацію примітивної рекурсії. Це, в основному, перевірка припинення Agda; Я вважаю, що у Coq є також подібні засоби, хоча, можливо, більш загальні.

З прочитання статті "Загальне функціональне програмування" Д. А. Тернера . Він пояснює, що запропонована мова могла б виразити всі "примітивні рекурсивні функціонали", як це спостерігається в Системі T, вивченій Годелем. Він продовжує говорити, що ця система "відома, що включає кожну рекурсивну функцію, сукупність якої може бути доведена логікою першого порядку".

Доза плоду дозволяє всім примітивним рекурсивним функціоналом? Якщо так, чи дозволяють функції, які не є примітивними рекурсивними функціоналами? Чи можна надати відповідь на це відповідь? (це насправді не потрібно, тому що я просто зацікавлений; це просто, що деякі подружні читання з цього питання були б непогані)

Питання про бонус: Примітивні рекурсивні функціонали мають дуже стисле визначення щодо комбінаторів: введені S і K (які не можуть виразити комбінатори з фіксованою точкою), нуль, функція наступника та ітераційна функція; Це воно. Чи існують інші більш загальні такі мови, які мають таке стисле визначення і в яких усі вирази закінчуються?

Так, перевірка Fetus може встановити прапорець усе в T. Goedel T. Це можна показати, використовуючи перевірку, щоб показати, що оператор ітерації в T закінчується. Наприклад, працює таке визначення:

$$\begin{array}{lcl} \mathit{iter} & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \\ \mathit{iter} \;i \;f \;0 & = & i \\ \mathit{iter} \;i \;f \;(n+1) & = & f\;(\mathit{iter} \;i \;f \;n) \end{array}$$

Це перевірити Fetus (або більшість будь-яких інших перевірок завершення) дуже просто, оскільки це очевидно структурно рекурсивне визначення.

І Agda, і Coq дозволяють довести припинення функцій, що виходять далеко за рамки того, що, очевидно, є загальним в арифметиці першого порядку. Особливістю, яка це дозволяє, є те, що вони дозволяють визначати типи шляхом рекурсії даних, що називається "великим усуненням". (У теорії множин ZF аксіомна схема заміни служить приблизно однаковою метою.)

Простий приклад чогось, що виходить за межі Т, - це послідовність самого Т Геделя! Ми можемо дати синтаксис як тип даних:

data T : Set where 
   N : T 
   _⇒_ : T → T → T

data Term : T → Set where 
   zero : Term N
   succ : Term (N ⇒ N)
   k    : {A B : T} → Term (A ⇒ B ⇒ A)
   s    : {A B C : T} → Term ((A ⇒ B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B) ⇒ A ⇒ C)
   r    : {A : T} → Term (A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ N ⇒ A)
   _·_  : {A B : T} → Term (A ⇒ B) → Term A → Term B

Зауважимо, що типова залежність дозволяє нам визначити тип даних термінів, що містять лише добре набрані терміни T. Тоді ми можемо надати функцію інтерпретації для типів:

interp-T : T → Set 
interp-T N       = Nat 
interp-T (A ⇒ B) = (interp-T A) → (interp-T B)

Це говорить про те, що Nповинні бути природні числа Agda, а стрілка T повинна тлумачитися як простір функцій Agda. Це "велике" усунення, оскільки ми визначаємо набір шляхом рекурсії на структурі типу даних Т.

Тоді ми можемо визначити функцію інтерпретації, показуючи, що кожен термін Т Геделя може бути інтерпретований терміном Агда:

interp-term : {A : T} → Term A → interp-T A
interp-term zero    = 0 
interp-term succ    = \n → n + 1
interp-term k       = \x y → x
interp-term s       = \x y z → x z (y z)
interp-term r       = Data.Nat.fold 
interp-term (f · t) = (interp-term f) (interp-term t)

(У мене немає Agda на цій машині, тому, безсумнівно, є деякі імпорт, декларації про виправлення та помилки друку. Виправлення - це вправа для читача, який також може бути редактором, якщо їм це подобається.)

Я не знаю, яка сила консистенції Agda, але Бенджамін Вернер показав, що обчислення індуктивних конструкцій (обчислення ядра Coq) є рівносильним з ZFC плюс безліч важкодоступних кардиналів.

Як уточнення, я мушу зазначити, що Fetus був розроблений Андреасом Абелем , який також розробив оригінальну перевірку припинення для Agda , і з тих пір працював над більш досконалими методами припинення .

Відповідь на ваше запитання може бути трохи невтішною: клас функцій від $\mathbb{N}$ до $\mathbb{N}$це саме ті функції, які можна визначити в системі$\mathrm{F}$. Причина цього: вищезазначений клас дорівнює переривно закінчуваним функціям в арифметиці другого порядку ($\mathrm{PA}^2$) що, у свою чергу, дорівнює функціям, визначеним у системі $\mathrm F$(див., наприклад, Докази та типи , глава 11). Крім того, якщо ви знімете поліморфізм, то ви перейдете до визначених функцій$\mathrm{PA}$, що трапляється збігається з тими, що визначені в системі $\mathrm{T}$.

Знову ж таки, причиною цього є те, що зменшення, спричинене "матрицями викликів", є очевидно обґрунтованим , і це доведення може бути здійснено цілком у$\mathrm{PA}$.

Однак це не означає, що Фетус не корисніший за систему$\mathrm{T}$! На практиці потрібні більш складні аналізи припинення, щоб мати можливість приймати певні презентації обчислюваних функцій. Наприклад, вам не потрібно робити складні докази в арифметиці Peano кожен раз, коли ви пишете функцію об'єднання, наприклад. Тож у цьому відношенні Фетус є дуже потужним і дозволяє визначати функції таким чином, який би не прийняли ні Кок, ні Агда, ні будь-яка інша загальна система доказів.

Якщо під примітивними рекурсивними функціоналами ви маєте на увазі примітивні рекурсивні функції, і ви знаєте, що Fetus містить функцію Ackermann, то Fetus не збігається з класом pr функцій, оскільки функція Ackermann не є примітивною рекурсивною. Це показав Акерманн, а пізніше спрощений доказ дала Роза Петро у " Konstruktion nichtrekursiver Funktionen " 1935 (на жаль, лише на німецькій мові, наскільки я знаю).

Якщо ви шукаєте більші класи рекурсивних функцій, які гарантовано припиняються, що може збігатися з класом функцій, захоплених Фетом, то якась інша робота Рози Петра може вас зацікавити.

Функція Ackermann міститься в класі декількох рекурсивних функцій, визначених Роза Петром у " Uber die mehrfache Rekursion " 1937. Неофіційно ідея багаторазової рекурсії полягає в тому, що ви можете мати кілька рекурсивних змінних, які можуть змінюватися після рекурсивного кроку. Наприклад$f(a,b)$ може зателефонувати $f(a,b-1)$ або $f(a-1,b)$.

І все ж сильніший клас дає концепція трансфінітних рекурсій, описана у " Zusammenhang der mehrfachen und transfiniten Rekursion " від Рози Петра. Для безстрокової рекурсії у вас є одна рекурсивна змінна, яка може викликати попередників wrt до спеціального впорядкування$<$

Наприклад, ви можете інтерпретувати ціле число як пару цілих чисел і використовувати впорядкування

$$(a,b) < (c,d) \iff ( a < c \wedge b \leq d ) \vee ( a \leq c \wedge b < d )$$ Це можна узагальнити для потрійних цілих чисел тощо. Петро називає ці впорядкування$\omega^2, \omega^3$і так далі. Ви можете піти на крок далі і інтерпретувати ціле число як довільне число цілих чисел. Дозволяє$p_i$ бути $i$-е просте число. Тоді ми можемо розглянути$z = p_1^{n} \cdot p_2^{x_1} \cdot p_3^{x_2} \cdot \dots$ де $n$ позначає кількість цілих чисел, закодованих у $z$ і $x_i$містять респ. значення. Вона позначає впорядкування для такого списку цілих чисел, як$\omega^\omega$і за допомогою діагоналізації показує, що такий вид рекурсії сильніший за багаторазову рекурсію. Однак я не впевнений, чи є синтаксична характеристика цього класу.

[редагувати] Примітивні рекурсивні функції не є такими ж, як примітивні рекурсивні функціонали, як зазначено в коментарі нижче. Але я думаю, що можна перенести концепцію безмежної рекурсії у функціонали. Однак не зрозуміло, чи є все-таки більш потужним wrt функціональна настройка.