Вирази ширини клики з логарифмічною глибиною

Коли нам дають розклад дерева на графіку з шириною w , існує кілька способів зробити це "приємним". Зокрема, відомо, що можна перетворити його на декомпозицію дерева, де дерево є бінарним, а його висота - O ( log n ) . Цього можна досягти, зберігаючи ширину розкладання не більше 3 мас . (Див., Наприклад, "Паралельні алгоритми з оптимальною швидкістю для обмеженої ширини", Бодлендер та Хагерпуп). Отже, логарифмічна глибина - це властивість розкладання дерева, яку ми можемо отримати майже безкоштовно.$G$$w$$O(\log n)$$3w$

Моє запитання, чи існує подібний результат для ширини кліку, чи, можливо, зустрічний приклад. Іншими словами, якщо вираз із шириною кліки для використанням k міток, чи завжди існує вираз шириною кліки висоти O ( log n ) для , який використовує не більше міток? Тут висота визначається природним чином як висота дерева розбору вираження шириною клики.$G$$k$$O(\log n)$$G$$f(k)$

Якщо твердження, подібне до вище, невідоме, чи є приклад -верхового графіка G з малою шириною кліки k , таким чином, що єдиний спосіб побудувати G з мітками f ( k ) - використовувати вираз з великими глибина?$n$$G$$k$$G$$f(k)$

Через деякий час я знайшов відповідь у літературі, тож розміщую її тут, якщо вона корисна комусь іншому.

Насправді можливо перебалансувати вирази ширини кліки так, щоб вони мали логарифмічну глибину. Результат наведений у статті "Графічні операції, що характеризують ширину рангів та збалансовані вирази графів" Courcelle та Kanté, WG '08. Цитую теорему 4.4 з статті:

$k$$k \times 2^{k+1}$

Привід тут полягає в тому, що кількість міток вибухає експоненціально врівноважуючи. Здається, що для ширини кліки на даний момент не відомий кращий результат. Цей же документ дає аналогічний результат лише з постійним підривом для ширини рангів, але це не допомагає, оскільки різниця між шириною кліки та шириною рангу може бути експоненціальною в гіршому випадку.