Вирази ширини клики з логарифмічною глибиною


15

Коли нам дають розклад дерева на графіку з шириною w , існує кілька способів зробити це "приємним". Зокрема, відомо, що можна перетворити його на декомпозицію дерева, де дерево є бінарним, а його висота - O ( log n ) . Цього можна досягти, зберігаючи ширину розкладання не більше 3 мас . (Див., Наприклад, "Паралельні алгоритми з оптимальною швидкістю для обмеженої ширини", Бодлендер та Хагерпуп). Отже, логарифмічна глибина - це властивість розкладання дерева, яку ми можемо отримати майже безкоштовно.ГшО(журналн)3ш

Моє запитання, чи існує подібний результат для ширини кліку, чи, можливо, зустрічний приклад. Іншими словами, якщо вираз із шириною кліки для використанням k міток, чи завжди існує вираз шириною кліки висоти O ( log n ) для , який використовує не більше міток? Тут висота визначається природним чином як висота дерева розбору вираження шириною клики.ГкО(журналн)Гf(к)

Якщо твердження, подібне до вище, невідоме, чи є приклад -верхового графіка G з малою шириною кліки k , таким чином, що єдиний спосіб побудувати G з мітками f ( k ) - використовувати вираз з великими глибина?нГкГf(к)


Відповіді:


5

Через деякий час я знайшов відповідь у літературі, тож розміщую її тут, якщо вона корисна комусь іншому.

Насправді можливо перебалансувати вирази ширини кліки так, щоб вони мали логарифмічну глибину. Результат наведений у статті "Графічні операції, що характеризують ширину рангів та збалансовані вирази графів" Courcelle та Kanté, WG '08. Цитую теорему 4.4 з статті:

кк×2к+1

Привід тут полягає в тому, що кількість міток вибухає експоненціально врівноважуючи. Здається, що для ширини кліки на даний момент не відомий кращий результат. Цей же документ дає аналогічний результат лише з постійним підривом для ширини рангів, але це не допомагає, оскільки різниця між шириною кліки та шириною рангу може бути експоненціальною в гіршому випадку.


3
Перший результат, що стосується врівноважених виразів із шириною кліки, - це Courcelle та Vanicat (DAM 131 (1): 129-150, 2003). Документ WG'07 узагальнює методи в роботі 2003 року та дає достатню умову для алгебри графа для отримання збалансованих виразів. Моя думка полягала в тому, що ми не можемо уникнути експоненціального вибуху, але я ніколи не намагаюся це довести чи спростувати. Принаймні наша техніка не може уникнути експоненціального вибуху.
М. kanté
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.