Чи приблизна сума підмножини DAG?

Ми дали спрямований ациклічний граф з номером , пов'язаних з кожною вершиною ( г : V → N ), і цільовим числом Т ∈ N .$G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

Проблема DAG підмножини суми (може існувати під іншим ім'ям, посилання буде великий) запитує , чи є вершини , таке, що Σ v i g ( v i ) = T , а v 1 → . . → v K являє собою шлях в G .$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

Ця проблема є тривіально NP-Complete, оскільки повний перехідний графік дає класичну задачу про підмножину.

Алгоритм наближення для задачі про суму підмножини DAG - це алгоритм із такими властивостями:

1. Якщо існує шлях із сумою T, алгоритм повертає TRUE.
2. Якщо немає шляху, підсумовуючи число до і T для деякого c ∈ ( 0 , 1 ) , алгоритм повертає FALSE.$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. Якщо є шлях, підсумовуючи число між і T , алгоритм може вивести будь-яку відповідь.$(1 − c)T$$T$

Сума підмножини, як відомо, є приблизною в поліноміальний час для всіх .$c>0$

Чи те ж саме стосується DAG-Subset-Sum?

$v_i$$L_i$$v_i$$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

Я думаю, що стандартне масштабування та округлення також може бути застосовано для отримання FPTAS.