Представлення АБО з многочленами

Я знаю, що тривіально функція АБО на $n$ змінних $x_1,\ldots, x_n$ може бути представлена ​​саме поліномом $p(x_1,\ldots,x_n)$ як такою: $p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ , що є ступенем $n$ .

Але як я міг би показати, що здається очевидним, що якщо - поліном, який точно представляє функцію АБО (так ∀ x ∈ { 0 , 1 } n : p ( x ) = ⋁ n i = 1 x i ), то deg ( p ) ≥ n ?$p$$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$$\deg(p) \ge n$

Нехай - булева функція. Якщо він має поліноміальне представлення P, то він має багатолінійне поліноміальне представлення Q ступеня deg Q ≤ deg P : просто замініть будь-яку потужність x k i , де k ≥ 2 , на x i . Тож ми можемо обмежити свою увагу багатолінійними многочленами.$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$P$$Q$$\deg Q \leq \deg P$$x_i^k$$k \geq 2$$x_i$

Затвердження: Поліноми , як функції { 0 , 1 } п → R утворюють базис для простору всіх функцій { 0 , 1 } п → R .$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Доведення: Спочатку ми показуємо, що многочлени лінійно незалежні. Нехай для всіх ( x 1 , … , x n ) ∈ { 0 , 1 } n . Доводимо (сильною) індукцією на | S | що c S = 0 . Припустимо, що c T = 0 для всіх | $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$ , і дамо нам безліч S кардинальності k . Для всіх T ⊂ S ми знаємо по індукціїщо з Т = 0 і т 0 = F ( 1 S ) = гр S , де 1 S є входомякий є 1 по координатам S .$|T| < k$$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

Затвердження , показує , що полілінейное уявлення функції є унікальним ( на насправді, е не повинні навіть бути 0 / 1 -значний). Унікальне багатолінійне подання АБО - 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , яке має ступінь n .$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

Нехай - многочлен такий, що для всіх x ∈ { 0 , 1 } n , p ( x ) = O R ( x ) . Розглянемо симетризацію многочлена p : Зауважимо, що оскільки функція АБО є симетричною булевою функцією, ми маємо, що для , і . Оскільки - ненульовий поліном, і він має принаймні$p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$k=1,2,…,nq(k)=1q(0)=0q-1nnp

$$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$$ $k = 1, 2, \ldots, n$$q(k) = 1$$q(0) = 0$$q-1$$n$0, він повинен мати ступінь принаймні . Тому також повинен мати ступінь .$n$$p$$n$

Симетризація часто використовується при дослідженні приблизного ступеня булевих функцій та складності квантового запиту. Див., Наприклад, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

Юваль і Генрі дали два різні докази цього факту. Ось третій доказ.

По-перше, як у відповіді Юваля, ми обмежимо нашу увагу багатолінійними многочленами. Тепер ви вже демонстрували багатолінійний многочлен ступеня, який дорівнює функції АБО. Тепер все, що нам потрібно показати, це те, що цей многочлен є унікальним, а значить, ви знайшли одне і єдине представлення функції АБО як полінома. Отже, його ступінь дорівнює .$n$$n$

Претензія: Якщо два багатолінійні многочлени p і q рівні на гіперкубі, то вони скрізь рівні.

Доведення: Нехай r (x) = p (x) - q (x), і ми знаємо, що r (x) = 0 для всіх x в . Хочемо показати, що r (x) однаково нуль. Назустріч суперечності, припустимо, що це не так, і виберіть будь-який одночлен у r з ненульовим коефіцієнтом, який має мінімальний ступінь. Встановіть, що всі змінні поза цим одночленом дорівнюють 0, а всі змінні в цьому мономелі дорівнюють 1. r (x) не є нульовим на цьому вході, але цей вхід булевий, що є суперечливим.$\{0,1\}^n$