Нехай - булева функція. Якщо він має поліноміальне представлення P, то він має багатолінійне поліноміальне представлення Q ступеня deg Q ≤ deg P : просто замініть будь-яку потужність x k i , де k ≥ 2 , на x i . Тож ми можемо обмежити свою увагу багатолінійними многочленами.f: { 0 , 1 }н→{0,1}PQdegQ≤degPxkik≥2хi
Затвердження: Поліноми , як функції { 0 , 1 } п → R утворюють базис для простору всіх функцій { 0 , 1 } п → R .{ ∏i ∈ Sхi: S⊆ [ n ] }{0,1}n→R{0,1}n→R
Доведення: Спочатку ми показуємо, що многочлени лінійно незалежні. Нехай для всіх ( x 1 , … , x n ) ∈ { 0 , 1 } n . Доводимо (сильною) індукцією на | S | що c S = 0 . Припустимо, що c T = 0 для всіх | Тf=∑ScS∏i∈Sxi=0(x1,…,xn)∈{0,1}n|S|cS=0cT=0 , і дамо нам безліч S кардинальності k . Для всіх T ⊂ S ми знаємо по індукціїщо з Т = 0 і т 0 = F ( 1 S ) = гр S , де 1 S є входомякий є 1 по координатам S .|T|<kSkT⊂ScT=00=f(1S)=cS1S1S □
Затвердження , показує , що полілінейное уявлення функції є унікальним ( на насправді, е не повинні навіть бути 0 / 1 -значний). Унікальне багатолінійне подання АБО - 1 - ∏ i ( 1 - x i ) , яке має ступінь n .f:{0,1}n→{0,1}f0/11−∏i(1−xi)n