Представлення АБО з многочленами


23

Я знаю, що тривіально функція АБО на n змінних x1,,xn може бути представлена ​​саме поліномом p(x1,,xn) як такою: p(x1,,xn)=1i=1n(1xi) , що є ступенем n .

Але як я міг би показати, що здається очевидним, що якщо - поліном, який точно представляє функцію АБО (так x { 0 , 1 } n : p ( x ) = n i = 1 x i ), то deg ( p ) n ?px{0,1}n:p(x)=i=1nxideg(p)n


1
Ви говорите про справжні многочлени? Або многочлени модуля 2? Якщо ви хочете поговорити про модуль 6 (або інші складені числа), то питання стає цікавішим.
Ігор Шинкар

Відповіді:


30

Нехай - булева функція. Якщо він має поліноміальне представлення P, то він має багатолінійне поліноміальне представлення Q ступеня deg Q deg P : просто замініть будь-яку потужність x k i , де k 2 , на x i . Тож ми можемо обмежити свою увагу багатолінійними многочленами.f:{0,1}n{0,1}PQdegQdegPxikk2xi

Затвердження: Поліноми , як функції { 0 , 1 } пR утворюють базис для простору всіх функцій { 0 , 1 } пR .{iSxi:S[n]}{0,1}nR{0,1}nR

Доведення: Спочатку ми показуємо, що многочлени лінійно незалежні. Нехай для всіх ( x 1 , , x n ) { 0 , 1 } n . Доводимо (сильною) індукцією на | S | що c S = 0 . Припустимо, що c T = 0 для всіх | Тf=ScSiSxi=0(x1,,xn){0,1}n|S|cS=0cT=0 , і дамо нам безліч S кардинальності k . Для всіх T S ми знаємо по індукціїщо з Т = 0 і т 0 = F ( 1 S ) = гр S , де 1 S є входомякий є 1 по координатам S .|T|<kSkTScT=00=f(1S)=cS1S1S 

Затвердження , показує , що полілінейное уявлення функції є унікальним ( на насправді, е не повинні навіть бути 0 / 1 -значний). Унікальне багатолінійне подання АБО - 1 - i ( 1 - x i ) , яке має ступінь n .f:{0,1}n{0,1}f0/11i(1xi)n


26

Нехай - многочлен такий, що для всіх x { 0 , 1 } n , p ( x ) = O R ( x ) . Розглянемо симетризацію многочлена p : Зауважимо, що оскільки функція АБО є симетричною булевою функцією, ми маємо, що для , і . Оскільки - ненульовий поліном, і він має принаймніpx{0,1}np(x)=OR(x)pk=1,2,,nq(k)=1q(0)=0q-1nnpn

q(k)=1(nk)x:|x|=kp(x).
k=1,2,,nq(k)=1q(0)=0q1n0, він повинен мати ступінь принаймні . Тому також повинен мати ступінь .npn

Симетризація часто використовується при дослідженні приблизного ступеня булевих функцій та складності квантового запиту. Див., Наприклад, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .


Мені здається, що для того, щоб ваш доказ працював, вам потрібно показати, що ступінь q - це максимум ступінь p. Це мені незрозуміло. Як ви це показуєте?
Маттон

Нехай d = deg (p). Тоді q - сума многочленів d градуса, отже, ступінь q дорівнює d.
Генрі Юен

3

Юваль і Генрі дали два різні докази цього факту. Ось третій доказ.

По-перше, як у відповіді Юваля, ми обмежимо нашу увагу багатолінійними многочленами. Тепер ви вже демонстрували багатолінійний многочлен ступеня, який дорівнює функції АБО. Тепер все, що нам потрібно показати, це те, що цей многочлен є унікальним, а значить, ви знайшли одне і єдине представлення функції АБО як полінома. Отже, його ступінь дорівнює .nnn

Претензія: Якщо два багатолінійні многочлени p і q рівні на гіперкубі, то вони скрізь рівні.

Доведення: Нехай r (x) = p (x) - q (x), і ми знаємо, що r (x) = 0 для всіх x в . Хочемо показати, що r (x) однаково нуль. Назустріч суперечності, припустимо, що це не так, і виберіть будь-який одночлен у r з ненульовим коефіцієнтом, який має мінімальний ступінь. Встановіть, що всі змінні поза цим одночленом дорівнюють 0, а всі змінні в цьому мономелі дорівнюють 1. r (x) не є нульовим на цьому вході, але цей вхід булевий, що є суперечливим.{0,1}n

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.