Використання складності Колмогорова в якості вхідного "розміру"

Скажімо , у нас є обчислювальна задача, наприклад , 3-SAT, який має безліч проблемних екземплярів (можливі входи) . Зазвичай при аналізі алгоритмів або теорії складності обчислювальної техніки ми маємо деякі множини всіх входів довжиною та функцією яка дає час виконання деякого алгоритму рішення на вході . Тоді найгірша послідовність часу роботи для - це $S$

$$I(n) = \{w \in S : |w| = n\}$$ $n$$T(w)$$A$$w$$A$ $$f_n = \max_{w \in I(n)} T(w).$$

Давайте визначимо множини

$$I^K(n) = \{w \in S : K(w) = n \}$$ всіх входів зі складністю Колмогорова $n$ , і визначимо послідовність $$f^K_n = \frac{1}{\left|I^K(n)\right|} \sum_{w \in I^K(n)} T(w).$$ Тут $f^K$ - середня послідовність часу для $A$ , за винятком випадків, коли "розмір" входів - це їх складність Колмогорова, а не їх довжина.

Чи існують алгоритми, для яких $f_n$ асимптотично суттєво відрізняється від $f^K_n$ ? Якщо так, то чи існують проблеми, часова складність яких змінюється при використанні іншого способу аналізу алгоритмів?

Розглянемо функцію парності (або будь-яку іншу функцію, яка залежить від усіх / більшості бітів вводу). Для функції парності f n = Θ ( n ) . f K n = Θ ( $T(w) = \Theta(|w|)$ . Отже З іншого боку,

$$f_n = \Theta(n).$$ $$f_n^K = \Theta\left(\frac{1}{|I^K(n)|} \sum_{w:K(w) = n} |w|\right) \geq \Omega\left(\frac{1}{2^n} \max_{w:K(w) = n} |w|\right).$$

Зауважимо, що . Таким чином і . Аналогічно ; таким чином «дуже швидко росте». Більше того, не важко помітити, що для немає обчислюваної верхньої межі .max w : K ( w ) = n | w | ≥ 2 2 Ω ( n ) f K n ≥ 2 2 Ω ( n ) / 2 n → ∞ K ( 2 … 2 2 n ) = O ( n ) f K $K(2^{2^n}) = O(n)$

$$\max_{w:K(w) = n} |w| \geq 2^{2^{\Omega(n)}}$$ $f_n^K \geq 2^{2^{\Omega(n)}} / 2^n \to \infty$$K(2^{\dots^{2^{2^n}}}) = O(n)$$f_n^K \geq 2^{\dots^{2^{2^{\Omega(n)}}}}/2^n$$f_n^K$

Зважаючи на зацікавленість у цьому питанні, я подумав, що може бути корисним чіткіше вказати на причину, коли ми не повинні взагалі дивуватися відповіді та спробувати дати певний напрямок для уточнення питання. Це збирає та розширює деякі коментарі. Прошу вибачення, якщо це "очевидно"!

Розглянемо безліч рядків складності Колмогорова : Існує не більше таких рядків, оскільки є описів довжини . Але зауважте, що цей набір не можна визначити для загального (інакше ми могли б обчислити K ( w ) лише шляхом ітерації від n = 1 до | w | і перевірки членства в J K ( n ) ). Крім того, функція g K ( n ) =$n$

$$J^K(n) = \{w : K(w) = n\}.$$ $2^n$$2^n$$n$$n$$K(w)$$n=1$$|w|$$J^K(n)$ зростає незрівнянно швидко. Це варіант функції зайнятого бобра: який самий тривалий результат випускається машиною Turing з довжиноюnопису? Якщо це зростало повільніше, ніж деяка обчислювана функція, ми могли б вирішити проблему зупинки: Давши TMM, побудуйтеM',що імітуєMі друкує1на кожному кроці. Якщо довжина описуM′дорівнюєn, то або:Mзупиняється на максимумgK(n $$g^K(n) = \max_{w \in J^K(n)} |w|$$ $n$$M$$M'$$M$$1$$M'$$n$$M$$g^K(n)$кроки; або не зупиняється.$M$

Тепер до питання Андрія ми маємо, що , де S - мова оригіналу. Так що єдиний спосіб уникнути I K ( п ) , що містять матеріали з дуже великими в п було б , якщо S містить тільки дуже стиснуті , рядки. (Зверніть увагу, що в іншому випадку ми можемо повністю ігнорувати відмінність між найгіршим та середнім випадком аналізу, оскільки ми в середньому оцінюємо щонайменше 2 n рядків, але розмір найбільшої струни зростає швидше, ніж будь-яка обчислювальна функція $I^K(n) = S \cap J^K(n)$$S$$I^K(n)$$n$$S$$2^n$$n$.)

Я вважаю, що, ймовірно, неможливо побудувати будь-яке нетривіальне (тобто нескінченне) яке містить лише нестисливі рядки, але воно рішуче. Але я не знаю. Однак, сподіваємось, це дає інтуїцію, чому ми не повинні сподіватися, що більшість мов f K n зростатиме повільніше, ніж обчислювана функція.$S$$f^K_n$

$n$$n$$n$$b$$b$$w$$n$$2^n$

$$I^C(n) = \{ w \in S : \text{the smallest circuit implicitly specifying $w$ has size $n$}\}.$$ $f^C_n$$f_n$$f^C_n$

$$\mathsf{IMPLICIT\_SAT} = \{ \text{circuits $C$}: \text{$C$ implicitly specifies $w$}, w \in \mathsf{SAT}\}.$$ $w$$w$$f^C_n = \Theta(f_n)$$w$

Сподіваюся, це корисно / цікаво!

Я не впевнений у підручнику, який згадує неявні проблеми, але ось деякі конспекти лекцій: http://people.seas.harvard.edu/~salil/cs221/spring10/lec8.pdf

$S$$S$$L$$n$$2^n-n$$f^K_{n}$$2^{f_n}$