Аргументи за / проти думки Колмогорова про складність ланцюга P

Згідно (неперевіреного) історичного звіту, Колмогоров вважав, що кожна мова в $\mathsf{P}$ має складність лінійної ланцюга. (Див раніше питання гіпотези Колмогорова , що $P$ має схеми лінійного розміру .) Зверніть увагу , що це означає $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$ .

Однак, як вважають, здогадки Колмогорова можуть зазнати невдачі. Наприклад, Райан Вільямс пише в недавній статті: . «Припущення було б дивно, якщо вірні для мов $\mathsf{P}$ , що вимагають $n^{100^{100}}$ раз, представляється малоймовірним , що складність таких проблем , як по чарівництву скоротиться до $O(n)$ розміру, лише тому, що для кожної довжини входу може бути розроблена інша схема ".

З іншого боку, Андрій Колмогоров (1903-1987) широко визнаний одним із провідних математиків 20 століття. Досить важко уявити, що він запропонував би абсолютно безглузду гіпотезу. Тому, щоб краще зрозуміти це, я намагався знайти деякі аргументи, які насправді могли б підтримати його дивовижну здогадку. Ось що я міг би придумати:

$\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ $L\in \mathsf{P}$ $L$

Існує відомий явний алгоритм (машина Тьюринга) , який приймає . З цього можна побудувати чітке сімейство функцій, яке повинно мати складність надлінійної ланцюга. Однак це може бути малоймовірним, оскільки ніхто не зміг знайти такого прикладу за більш ніж 60 років інтенсивного дослідження мікросхем. $L$
Чи не Там буде не відомо явного алгоритму . Наприклад, його існування доведено неконструктивними засобами, такими як Аксіома вибору. Або, навіть якщо явний алгоритм існує, ніхто не зміг його знайти. Однак, враховуючи, що існує нескінченно багато мов, які можуть грати роль , навряд чи знову вони всі поводяться таким недружнім способом. $L$ $L$

Але тоді, якщо ми відхилимо обидва варіанти як неправдоподібні, єдиною можливою можливістю є те, що такого не існує. Це означає , що є саме припущенням Колмогорова. $L$ $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$

Питання: Чи можете ви придумати будь-який подальший аргумент за / проти здогадки Колмогорова?

cc.complexity-theory circuit-complexity ho.history-overview

— Андрас Фараго
джерело

Цікаво: Чи є у нас кандидати, які спростують здогадки Колмогорова? Звичайно, можна розглянути будь-яку проблему, яка, мабуть, має надлінійну складність. Можливо, деякі з них, швидше за все, не мають лінійних розмірів схем?

— Бруно

давайте зіткнутися з цим, ніхто не має найменшої підказки. (знову цитата Голдмана на голлівуді: "ніхто нічого не знає".) (неопублікована) гіпотеза, можливо, була відкрита навіть довше, ніж P =? NP. однак, орієнтовну ідею / кут варто вивчити: теорія стиснення та стисливість. це в основному те, на що вілліами натякають і, можливо, лежать в основі багатьох розділень класу складності. ідея полягає в тому, що існують основні способи / алгоритми кодування даних, а деякі шаблони суттєво важче стиснути, використовуючи (будь-які довільні) кодування. але, мабуть, результатів в цій галузі також дуже мало.

— vzn

і btw, багато зв'язків складності Колмогорова з обчислювальною складністю, наприклад, досліджені Fortnow, можливо, мають певний пояснювальний зв’язок, чому питання так важко вирішити, тому що стільки питань, пов'язаних зі складністю Колмогорова, не можна визначити ...?

— vzn

@Bruno: Я б здогадався, що -повні проблеми були б хорошими кандидатами, наприклад, лінійне програмування або проблема значення ланцюга. Якщо то ці проблеми неможливо вирішити навіть нерівномірно в полірозмірі та глибокій глибині, тому принаймні здається розумним здогадатися, що таких проблем не повинно бути вирішується лінійним розміром (і необмеженою глибиною). Визначальним може бути інший розумний кандидат. Але це лише пропозиції - у мене немає вагомих причин вважати, що вони мають суперлінійний розмір ланцюга.

P

$\mathsf{P}$

P ⊈ N C

$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— Джошуа Грохов

Відповіді:

Зноска моєї статті, яку ви цитуєте, стосується евристичного "аргументу", принаймні, що, на нашу думку, було інтуїцією Колмогорова - позитивним вирішенням тринадцятої проблеми Гільберта.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteen_problem

Зокрема, Колмогоров і Арнольд довели, що будь-яка безперервна функція на змінних може бути виражена складом "простих" функцій: додавання двох змінних та безперервних функцій на одній змінній. Отже, над "основою" однозмінних безперервних функцій і двозмінним складанням, кожна неперервна функція на змінних має "складність ланцюга" . $n$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

Схоже, Колмогоров вважав, що існує дискретний аналог, де "безперервний в змінних" стає "булевим в змінних і полі -часовий обчислюваний", і де "основа", наведена вище, стає дво змінною булевою функцією. $n$ $n$ $(n)$

— Райан Вільямс
джерело

Було б дуже цікаво, якби дискретний аналог, в який вірив Колмогоров, дійсно існував. Імовірно, дослідники намагалися її знайти, оскільки це могло б призвести до того, що це стосується доказу . Що було головним блокпостом, з яким вони стикалися?

P \neq N P

$P\neq NP$

— Андрас Фараго

Дорожні блоки? Я не думаю, що ніхто не знайшов дорогу :) Оскільки більшість людей вважає, що не має схем розміру , для кожного фіксованого , мабуть, мало хто навіть шукав дорогу.

P

$P$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

— Райан Вільямс

Відповідь Стасіса на попереднє запитання дає певну інтуїцію, яка потенційно на користь: /cstheory//a/22048/8243 . Я спробую переробити тут, як я це розумію. Ключова інтуїція - це бачити схему як не алгоритм, а кодування набору (набір, який він приймає). Ми можемо отримати верхню межу кодування розміру за часом виконання алгоритму (тобто перевести часовий TM в ланцюг розміру ), але незрозуміло, який саме зворотний зв'язок повинен існувати. Якщо мова є в , то, можливо, це означає, що членство є "локальним", щоб бути закодованим дуже стисло. $t$ $t$ $\mathsf{P}$

Тобто членство в - це твердження про час роботи алгоритму, тоді як лінійні схеми - це (можливо) твердження про розмір кодування множин слів фіксованої довжини. Обидва є твердженнями про простоту мови, але вони живуть у, можливо, зовсім інших світах. $\mathsf{P}$

Інша інтуїція, яку згадує Стасіс, походить з "індикаторної рядки" мови, яку давайте формалізуємо як нескінченну рядок, де біт дорівнює якщо а лексикографічна рядок є в мові, а іншому випадку. (Polytime) TM для мови - це (швидкий) оракул для рядка ---, заданого у двійковій формі , виробляють й біт. Схема (лінійного розміру) для входів довжиною - це (стислий) оракул для префікса довжини . Гіпотеза перетворюється на "будь-яку нескінченну рядок, який має" швидкий "оракул, має" стислі "префікси-оракули". $j$ $1$ $j$ $0$ $j$ $j$ $n$ $2^n$

Ніщо з вищезгаданого не пояснює, чому і" linear "можуть бути правильними відповідними параметрами для оператора, але я думаю, що вони показують, що одна природна інтуїція - схеми діють як алгоритми, і більш складні алгоритми вимагають подібні складні схеми - можуть ввести в оману. $``\mathsf{P}"$

— усул
джерело