Для яких сімей графів узагальнена географія в ?

Як згадував @Marzio, наступна гра відома як « Узагальнена географія» .

Враховуючи графік та початкову вершину , гра визначається так:v ∈ $G=(V,E)$$v \in V$

На кожному кроці (два гравці чергуються) гравець вибирає , і тоді відбувається таке:$u\in N(v)$

1. $v$ , а також всі його краю, видаляється з .$G$
2. v $u\to v$ (тобто оновлюється до вершини ).$v$$u$

Гравець, який змушений вибрати "тупик" (тобто вершину без вихідних ребер), програє.

У яких сімействах графіків оптимальна стратегія, обчислювана в поліноміальний час?

Наприклад, легко зрозуміти, що якщо є DAG, то ми можемо легко обчислити оптимальну стратегію для гравців.$G$

Узагальнена географія (GG) є повною PSPACE навіть на планарних двосторонніх графіках, але, як повідомляється у:

Ганс Л. Бодлендер, Складність ігор , що формують шлях , Теоретична інформатика, Том 110, Випуск 1, 15 березня 1993 р., Сторінки 215-245

GG (та деякі інші варіанти PSPACE-повні) є лінійно-розв'язуваними за часом у графіках обмеженої широти ширини.

СТОРІННЯ ПРИМІТКА: одним із варіантів узагальненої географії, який нещодавно було доведено, що PSPACE є повним, є Tron ( гра « Легкі цикли» ): даючи непрямий графік, два гравці вибирають дві різні стартові вершини, а потім по черзі рухаються до сусіднього вершини від їх відповідної попередньої на кожному кроці. Гра закінчується, коли обидва гравці більше не можуть рухатися. Гравець, який пройшов більше вершин, перемагає (Бодлендер і Клокс в 1990 році вважали його завершеним PSPACE).
Tillmann Miltzow, Tron, комбінаторна гра на абстрактних графіках (2011)

Редагувати : Я створив невелику програму для тестування гри на маленьких прямокутних графах суцільної сітки (непрямої) (непрямий), і результат підказує, що поліноміальний час вирішується також для цього класу графіків (якщо припустити, що перший вузол, обраний гравцем A - верхній лівий вузол):$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

Цікаво, що та сама матриця виходить, якщо гравець A може вибрати довільний стартовий вузол.

Як сказано в коментарях, я думаю, що складність вирішення питання про те, чи є виграшна стратегія, коли GG грається на суцільних графних сітках (з довільними формами, але без дірок), невідома, і, ймовірно, довести щось про це не так просто це (справді - дещо пов’язана - проблема вирішення питання, чи має графіка суцільної сітки гамільтонів шлях, як і раніше відкрита, хоча вирішити, чи є графіка суцільної сітки з гамільтоновим циклом, - це поліноміальне вирішення часу).

Заключна тривіальна примітка: GG розв'язується в поліномі за часом також у повних графах.

$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$